Karekök fonksiyonları, bir sayının karekökünün alınması prensibine dayanır. Bu fonksiyonların en önemli özelliği, tanım kümesini belirleyen kısıtlamalardır.

Bir karekök fonksiyonunun genel formu f(x) = kök içinde g(x) şeklindedir.

• Tanım Kümesi (Domain): Gerçek sayılarda karekök alma işlemi, kök içindeki ifadenin negatif olmaması şartına bağlıdır. Bu nedenle, bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, kökün içerisindeki ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır.
  • Kural: g(x) sıfırdan büyük veya eşit olmalı.
• Değer Kümesi (Görüntü Kümesi): Bir karekök fonksiyonunun değeri, tanım gereği negatif olamaz. Bu nedenle, f(x) = kök içinde g(x) fonksiyonunun alabileceği değerler her zaman pozitif veya sıfıra eşittir.
  • Kural: f(x) sıfırdan büyük veya eşit olmalı.
• Artan Fonksiyon Özelliği: Temel karekök fonksiyonu f(x) = kök içinde x artan bir fonksiyondur. x değeri büyüdükçe fonksiyonun değeri de büyür.
• Grafik: Karekök fonksiyonlarının grafiği, bir noktadan başlayıp sağa ve yukarı doğru eğrisel bir şekilde devam eden bir eğri oluşturur.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = kök içinde x – 4 fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x 4’ten büyük veya eşit B) x 4’ten küçük veya eşit C) x 4’ten büyük D) x 4’ten küçük E) Tüm reel sayılar

Çözüm: Kök içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle, x – 4 sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, x 4’ten büyük veya eşit elde ederiz. Doğru Cevap: A

Soru 2: f(x) = kök içinde 10 – 2x fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x 5’ten büyük veya eşit B) x 5’ten küçük veya eşit C) x -5’ten büyük veya eşit D) x -5’ten küçük veya eşit E) Tüm reel sayılar

Çözüm: 10 – 2x sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. 10 2x’ten büyük veya eşit 5 x’ten büyük veya eşit veya x 5’ten küçük veya eşit Doğru Cevap: B

Soru 3: f(x) = kök içinde x – 1 + 2 fonksiyonunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y 0’dan büyük veya eşit B) y 1’den büyük veya eşit C) y 2’den büyük veya eşit D) y 2’den küçük veya eşit E) Tüm reel sayılar

Çözüm: Karekök ifadesi kök içinde x – 1 her zaman 0’a eşit veya 0’dan büyüktür. Yani, kök içinde x – 1 sıfırdan büyük veya eşit. Eşitsizliğin her iki tarafına 2 eklersek: kök içinde x – 1 + 2 sıfır artı 2’den büyük veya eşit. f(x) 2’den büyük veya eşit, yani y 2’den büyük veya eşit Doğru Cevap: C

Soru 4: f(x) = kök içinde 2x + 6 fonksiyonunun x eksenini kestiği noktanın koordinatı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-3, 0) B) (3, 0) C) (0, 6) D) (0, 0) E) (-2, 0)

Çözüm: Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktayı bulmak için f(x)’i 0’a eşitleriz. kök içinde 2x + 6 = 0 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -3 Fonksiyon x eksenini (-3, 0) noktasında keser. Doğru Cevap: A

Soru 5: f(x) = kök içinde x kare – 4 fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-2, 2] B) (-sonsuz, -2] C) [2, sonsuz) D) (-2, 2) E) (-sonsuz, -2] birleşim [2, sonsuz)

Çözüm: x kare – 4 sıfırdan büyük veya eşit eşitsizliğini çözmeliyiz. x kare – 4 = 0 denkleminin kökleri x = 2 ve x = -2’dir. x kare’nin katsayısı pozitif olduğu için, çözüm kümesi köklerin dışıdır. (-sonsuz, -2] birleşim [2, sonsuz) aralığında eşitsizlik sağlanır. Doğru Cevap: E

Soru 6: f(x) = 5 – kök içinde x + 1 fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) -1 B) 0 C) 1 D) 5 E) Sonsuz

Çözüm: Karekök ifadesi kök içinde x + 1 her zaman 0’a eşit veya 0’dan büyüktür. Yani, kök içinde x + 1 sıfırdan büyük veya eşit. 5’ten en küçük değeri çıkardığımızda, en büyük sonucu elde ederiz. Bu nedenle kök içinde x + 1 ifadesinin en küçük değeri olan 0’ı kullanırız. En büyük değer = 5 – 0 = 5’tir. Doğru Cevap: D