Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını sayısal olarak ifade etmemize yarar. Temel olasılık, bir olayın olası sonuçlarının tüm sonuçlara oranını hesaplar. Ancak, bir olayın gerçekleşmesinin, başka bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı olduğu durumlar da vardır. İşte bu noktada koşullu olasılık kavramı ortaya çıkar.

Koşullu Olasılık

Koşullu olasılık, bir olayın, başka bir olayın zaten gerçekleştiği bilindiği durumda gerçekleşme olasılığıdır. A olayının, B olayının gerçekleştiği bilindiği durumda gerçekleşme olasılığı P(A|B) şeklinde gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

P(A|B) = P(A ve B) / P(B)

Bu formüldeki P(A ve B), A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığını, P(B) ise B olayının gerçekleşme olasılığını ifade eder.

• Örnek: Bir sınıftaki 30 öğrenciden 10’u erkek, 20’si kızdır. Bu öğrencilerden 5 erkek ve 8 kız öğrenci gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız olma olasılığı nedir?

Çözüm: Bu bir koşullu olasılık problemidir. Olayları tanımlayalım:

• A: Seçilen öğrencinin kız olması.
• B: Seçilen öğrencinin gözlüklü olması.
• Bizden P(A|B) isteniyor, yani öğrencinin kız olma olasılığı, gözlüklü olduğu koşulu altında.

P(A ve B): Seçilen öğrencinin hem kız hem de gözlüklü olma olasılığı. Sınıfta 8 kız öğrenci gözlüklü ve toplam 30 öğrenci var. Bu yüzden P(A ve B) = 8 / 30.

P(B): Seçilen öğrencinin gözlüklü olma olasılığı. Toplam gözlüklü öğrenci sayısı 5 (erkek) + 8 (kız) = 13. Toplam öğrenci sayısı 30. Bu yüzden P(B) = 13 / 30.

Formülü kullanarak: P(A|B) = (8 / 30) / (13 / 30) = 8 / 13.

Yani, gözlüklü olduğu bilinen bir öğrencinin kız olma olasılığı 8/13’tür.

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

İki olayın birbiriyle ilişkisine göre bağımlı veya bağımsız oldukları söylenebilir.

• Bağımsız Olaylar: Bir A olayının gerçekleşmesinin, B olayının gerçekleşme olasılığını etkilemediği durumlardır. Bu durumda P(A ve B) = P(A) x P(B) olur.
  • Örnek: Bir madeni parayı iki kez atmak. İlk atışta yazı gelmesi, ikinci atışta yazı gelme olasılığını etkilemez.
• Bağımlı Olaylar: Bir A olayının gerçekleşmesinin, B olayının gerçekleşme olasılığını etkilediği durumlardır. Bu durumda P(A ve B) = P(A) x P(B|A) olur.
  • Örnek: İçinde 5 kırmızı ve 3 mavi top bulunan bir torbadan, çekilen topu geri koymadan art arda iki top çekmek. İlk topun kırmızı gelme olasılığı, ikinci topun hangi renkte geleceği olasılığını etkiler.

Çözümlü Test Soruları

Konuyu daha iyi pekiştirmek için 5 sorudan oluşan bir test hazırladım.

Soru 1: Bir kutuda 5 kırmızı ve 4 mavi top vardır. Bu kutudan rastgele çekilen topun mavi olduğu bilindiğine göre, bu topu geri atmadan yapılan ikinci çekilişte kırmızı top gelme olasılığı kaçtır?

A) 5/9 B) 4/9 C) 5/8 D) 4/8 E) 1/2

Çözüm: Bu bir koşullu olasılık ve bağımlı olay problemidir. İlk çekilişte mavi top çekildiği bilindiği için, torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top kalmıştır. Toplam top sayısı artık 8’dir. İkinci çekilişte kırmızı top gelme olasılığı, 5 kırmızı top bölü 8 top olarak hesaplanır. Olasılık = 5/8 Doğru cevap C’dir.

Soru 2: Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın tek sayı gelmesi ve paranın yazı gelmesi olaylarının olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/6 E) 1/12

Çözüm: Bu iki olay bağımsızdır. Zarın sonucu paranın sonucunu etkilemez. Zarın tek sayı gelme olasılığı (1, 3, 5): 3 / 6 = 1/2 Paranın yazı gelme olasılığı: 1/2 İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bireysel olasılıklarının çarpımıdır. (1/2) x (1/2) = 1/4 Doğru cevap C’dir.

Soru 3: İki torbadan birincisinde 4 beyaz ve 3 siyah, ikincisinde ise 5 beyaz ve 2 siyah top vardır. Birinci torbadan rastgele bir top çekilip ikinci torbaya atılıyor. Son durumda ikinci torbadan çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

A) 3/7 B) 4/7 C) 39/56 D) 41/56 E) 45/56

Çözüm: Bu bir toplam olasılık problemidir. İki durum vardır:

• Durum 1: Birinci torbadan beyaz top çekme olasılığı (4/7) ve bu topu ikinci torbaya atıp oradan beyaz top çekme olasılığı (6/8). Olasılık = (4/7) x (6/8) = 24/56
• Durum 2: Birinci torbadan siyah top çekme olasılığı (3/7) ve bu topu ikinci torbaya atıp oradan beyaz top çekme olasılığı (5/8). Olasılık = (3/7) x (5/8) = 15/56 İkinci torbadan beyaz top çekme olasılığı, bu iki durumun toplamıdır: Toplam Olasılık = 24/56 + 15/56 = 39/56 Doğru cevap C’dir.

Soru 4: Bir şehirde yaşayan kişilerin yüzde 60’ının A gazetesini, yüzde 40’ının ise B gazetesini okuduğu bilinmektedir. Bu kişilerin yüzde 20’sinin her iki gazeteyi de okuduğu biliniyorsa, rastgele seçilen bir kişinin B gazetesini okuduğu bilindiğine göre, A gazetesini de okuma olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 2/5 D) 3/4 E) 1/4

Çözüm: Bu bir koşullu olasılık problemidir. Olayları tanımlayalım:

• P(A): A gazetesini okuma olasılığı = 0.60
• P(B): B gazetesini okuma olasılığı = 0.40
• P(A ve B): Hem A hem B’yi okuma olasılığı = 0.20
• İstenen olasılık, kişinin B gazetesini okuduğu bilindiğinde A gazetesini de okuma olasılığıdır, yani P(A|B).
• P(A|B) = P(A ve B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 1/2. Doğru cevap A’dır.

Soru 5: İki madeni para atılıyor. En az birinin tura geldiği bilindiğine göre, ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 2/3

Çözüm: Tüm olası sonuçlar: (Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura). Toplam 4 durum. “En az birinin tura geldiği” koşulu, olası durumları 3’e indirir: (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura). İkisinin de tura gelmesi durumu bu 3 durumdan sadece 1 tanesidir: (Tura, Tura). Koşullu olasılık: İstenen durum sayısı / Koşula uygun toplam durum sayısı = 1 / 3. Doğru cevap B’dir.