Gerçek sayılar kümesinde tanımlanan fonksiyonların davranışlarını ve özelliklerini inceleyen konulara fonksiyonların nitel özellikleri denir. Bu özellikler, fonksiyonun grafiği üzerinden kolayca anlaşılabilir ve fonksiyonun nasıl bir “eğilim” gösterdiğini ortaya koyar.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki davranışı, o aralıkta artan mı yoksa azalan mı olduğuyla açıklanır.

• Artan Fonksiyon: Bir [a, b] aralığında, x değerleri artarken fonksiyonun y değerleri (f(x)) de artıyorsa, o fonksiyon bu aralıkta artan fonksiyondur. Grafik olarak, soldan sağa doğru yukarıya çıkan bir eğriye sahiptir.
  • Matematiksel tanım: Her x₁ < x₂ için f(x₁) < f(x₂) oluyorsa, f artan fonksiyondur.
• Azalan Fonksiyon: Bir [a, b] aralığında, x değerleri artarken fonksiyonun y değerleri (f(x)) azalıyorsa, o fonksiyon bu aralıkta azalan fonksiyondur. Grafik olarak, soldan sağa doğru aşağıya inen bir eğriye sahiptir.
  • Matematiksel tanım: Her x₁ < x₂ için f(x₁) > f(x₂) oluyorsa, f azalan fonksiyondur.

Maksimum ve Minimum Değerler

Bir fonksiyonun belirli bir tanım aralığında alabileceği en büyük ve en küçük değerlere maksimum ve minimum değerleri denir.

• Bir f(x) fonksiyonunun bir aralıktaki maksimum değeri, o aralıktaki tüm fonksiyon değerlerinden daha büyük veya eşit olan bir f(c) değeridir.
• Bir f(x) fonksiyonunun bir aralıktaki minimum değeri, o aralıktaki tüm fonksiyon değerlerinden daha küçük veya eşit olan bir f(c) değeridir.

Çift ve Tek Fonksiyonlar (Simetri)

Bir fonksiyonun grafiği, belirli bir eksene veya noktaya göre simetri gösteriyorsa, bu fonksiyonlara özel isimler verilir.

• Çift Fonksiyon: Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar için f(x) = f(-x) kuralı geçerlidir.
  • Örnek: f(x) = x² veya f(x) = |x| fonksiyonları çift fonksiyondur.
• Tek Fonksiyon: Grafiği orijine (başlangıç noktasına) göre simetrik olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar için f(x) = -f(-x) kuralı geçerlidir.
  • Örnek: f(x) = x³ veya f(x) = x fonksiyonları tek fonksiyondur.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = x² – 4x + 3 fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞, 2] B) [2, ∞) C) (-∞, -1] D) [3, ∞) E) (-1, 3)

Çözüm: Parabol şeklindeki bir karesel fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralık, tepe noktasına göre belirlenir. Fonksiyonun tepe noktasının x koordinatı r = -b / 2a formülüyle bulunur. f(x) = x² – 4x + 3 fonksiyonunda a = 1 ve b = -4’tür. r = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2 Parabolün kolları yukarı baktığı için (a > 0), fonksiyon tepe noktasına kadar azalan, tepe noktasından sonra artandır. Bu nedenle fonksiyon (-∞, 2] aralığında azalandır. Doğru Cevap: A

---

Soru 2: f(x) = |x – 2| + 1 fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 0 D) -2 E) -1

Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 0’dır. Bu durumda |x – 2| ifadesi en az 0 olabilir. Fonksiyonun en küçük değeri, |x – 2| = 0 olduğu durumda elde edilir. f(x) = 0 + 1 = 1 Bu durumda fonksiyonun minimum değeri 1’dir. Doğru Cevap: A

---

Soru 3: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?

A) f(x) = x³ + x B) f(x) = 2x – 1 C) f(x) = x² + 5 D) f(x) = x³ + 1 E) f(x) = |x| + x

Çözüm: Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması için f(x) = f(-x) kuralını sağlaması gerekir. A) f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ – x = -f(x) (Tek) B) f(-x) = 2(-x) – 1 = -2x – 1 ≠ f(x) ve ≠ -f(x) (Ne tek ne çift) C) f(-x) = (-x)² + 5 = x² + 5 = f(x) (Çift) D) f(-x) = (-x)³ + 1 = -x³ + 1 ≠ f(x) ve ≠ -f(x) (Ne tek ne çift) E) f(-x) = |-x| + (-x) = |x| – x ≠ f(x) ve ≠ -f(x) (Ne tek ne çift) Doğru Cevap: C

---

Soru 4: Aşağıdaki grafiklerden hangisi azalan bir fonksiyonun grafiğini temsil eder?

A) Sağ yukarı eğimli düz çizgi B) Sağ aşağı eğimli düz çizgi C) U şeklinde bir parabol D) Ters U şeklinde bir parabol E) Y eksenine paralel bir doğru

Çözüm: Azalan fonksiyonun grafiği, x değerleri artarken y değerlerinin azaldığını gösterir. Bu durum, grafiğin soldan sağa doğru aşağıya doğru hareket etmesiyle görselleştirilir. Bu tanıma uyan en uygun grafik, sağ aşağı eğimli bir düz çizgidir. Doğru Cevap: B

---

Soru 5: f(x) = 2x³ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Çift fonksiyondur. B) Ne tek ne çift fonksiyondur. C) Tek fonksiyondur. D) Artan veya azalan olduğu aralık yoktur. E) Minimum ve maksimum değeri yoktur.

Çözüm: Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması için f(x) = -f(-x) kuralını sağlaması gerekir. f(x) = 2x³ f(-x) = 2(-x)³ = 2(-x³) = -2x³ -f(-x) = -(-2x³) = 2x³ Görüldüğü gibi f(x) = -f(-x) kuralı sağlanmaktadır. Bu nedenle f(x) tek fonksiyondur. Doğru Cevap: C

---

Soru 6: f(x) = -x² + 4x fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) -4 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Karesel fonksiyonun tepe noktasının y koordinatı, en büyük veya en küçük değerini verir. Fonksiyonun a değeri negatif olduğu için (a = -1), parabolün kolları aşağıya bakar ve tepe noktası en büyük değeri verir. Önce tepe noktasının x koordinatını bulalım: r = -b / 2a = -(4) / (2 * -1) = -4 / -2 = 2 Şimdi x = 2 değerini fonksiyonda yerine koyarak en büyük değeri bulalım: f(2) = -(2)² + 4(2) = -4 + 8 = 4 Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 4’tür. Doğru Cevap: D