Üçgende Yardımcı Elemanlar

• Kenarortay: Bir üçgende, bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgende üç kenarortay bulunur ve bu kenarortaylar tek bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktasına ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfiyle gösterilir. Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim olacak şekilde 1’e 2 oranında böler.
• Açıortay: Bir üçgende, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına iç açıortay denir. Üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
• Yükseklik: Bir üçgende, bir köşeden karşısındaki kenara veya kenarın uzantısına indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Üçgenin üç yüksekliği tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına diklik merkezi denir. Diklik merkezinin yeri üçgenin türüne göre değişir:
  • Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin içindedir.
  • Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır.
  • Dik üçgenlerde ise diklik merkezi, dik açının olduğu köşedir.

Yardımcı Elemanlar Arasındaki İlişkiler

• Açıortay-Kenarortay-Yükseklik Sıralaması: Bir üçgende bir köşeden çıkan yardımcı elemanların uzunlukları arasında genellikle bir sıralama vardır:
  • Yükseklik (h) ≤ Açıortay (n) ≤ Kenarortay (V)
  • Bu sıralama, üçgenin türüne göre değişiklik gösterebilir. Eşkenar üçgende bu üç yardımcı eleman birbirine eşittir ve aynı doğru üzerindedir. İkizkenar üçgende ise sadece tabana ait olan yükseklik, aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
• İkizkenar ve Eşkenar Üçgenlerin Özel Durumu:
  • İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda hem kenarortay hem de açıortaydır.
  • Eşkenar üçgende ise tüm yükseklikler, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır ve bu üç yardımcı eleman aynı uzunluktadır.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ikizkenar üçgende, tepe açısından tabana indirilen doğru parçası için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

A) Sadece yüksekliktir. B) Sadece açıortaydır. C) Sadece kenarortaydır. D) Hem yükseklik, hem açıortay hem de kenarortaydır. E) Bunların hiçbirisi değildir.

Çözüm: İkizkenar üçgenin en önemli özelliklerinden biri, tepe açısından tabana indirilen yüksekliğin, aynı zamanda o açının açıortayı ve tabanın kenarortayı olmasıdır. Doğru Cevap: D

Soru 2: Bir üçgenin kenarortaylarının kesişim noktası için ne ad verilir?

A) Diklik Merkezi B) Ağırlık Merkezi C) İç Teğet Çemberin Merkezi D) Çevrel Çemberin Merkezi E) Ortalama Merkezi

Çözüm: Üçgenin üç kenarortayının kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. Doğru Cevap: B

Soru 3: Geniş açılı bir üçgende, diklik merkezi nerede bulunur?

A) Üçgenin içindedir. B) Üçgenin dışındadır. C) Üçgenin üzerindedir. D) Kesin bir yeri yoktur. E) Geniş açının olduğu köşededir.

Çözüm: Geniş açılı üçgenlerde yüksekliklerin kesişim noktası olan diklik merkezi, üçgenin dışında yer alır. Doğru Cevap: B

Soru 4: Bir ABC üçgeninde, |AB| = |AC| ve A açısı = 50 derecedir. B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin, B açısını kaç derecelik iki parçaya böldüğünü bulunuz.

A) 25 B) 40 C) 50 D) 65 E) 80

Çözüm: Üçgen ikizkenar olduğu için, B ve C açıları eşittir. (180 – 50) / 2 = 130 / 2 = 65 derece. B açısı 65 derecedir. B’den AC’ye indirilen yükseklik, dik üçgen oluşturur. Bu yeni üçgenin açıları 90, 65 ve 25 derecedir. Bu durumda yükseklik B açısını 25 ve (65-25=40) derecelik iki parçaya böler. Doğru Cevap: B

Soru 5: Bir üçgende açıortaylar hangi noktada kesişir?

A) Ağırlık merkezi B) Diklik merkezi C) İç teğet çemberin merkezi D) Çevrel çemberin merkezi E) Kenar orta dikmelerin kesim noktası

Çözüm: Üçgenin iç açıortayları, üçgenin içine çizilebilecek en büyük çember olan iç teğet çemberin merkezinde kesişir. Doğru Cevap: C