Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Fonksiyonlar, bir kümedeki her elemanı diğer kümedeki bir elemanla eşleştiren kurallardır. Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özellikleri, grafiği inceleyerek anlaşılan davranışlardır.

• Artan, Azalan Fonksiyonlar: Bir fonksiyon, tanım aralığında x değerleri artarken f(x) değerleri de artıyorsa artan, f(x) değerleri azalıyorsa azalan fonksiyondur.
• En Büyük ve En Küçük Değerler: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alabileceği en büyük ve en küçük değerlere o aralıktaki maksimum ve minimum değerleri denir.
• Bir Fonksiyonun Ortalaması: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, bu aralığın başlangıç ve bitiş noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının, aralığın uzunluğuna oranına eşittir.
• Simetri: Bir fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrikse çift fonksiyon, orijine göre simetrikse tek fonksiyon olarak adlandırılır.

Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar (Parabol)

Karesel fonksiyonlar, f(x) = ax² + bx + c şeklinde ifade edilen fonksiyonlardır (a≠0). Bu fonksiyonların grafiği bir parabol oluşturur.

• Tepe Noktası: Parabolün en alçak veya en yüksek noktasıdır. Tepe noktasının koordinatları T(r, k) olmak üzere, r = -b / 2a ve k = f(r) formülleriyle bulunur. Eğer a > 0 ise parabol yukarı bakar ve tepe noktası en küçük değeri verir. Eğer a < 0 ise parabol aşağı bakar ve tepe noktası en büyük değeri verir.
• Simetri Ekseni: Parabolü ikiye bölen ve tepe noktasından geçen dikey doğruya (x = r) simetri ekseni denir.
• Kökler: Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar, f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar

Karekök fonksiyonları, f(x) = √g(x) şeklinde ifade edilir. Bu fonksiyonların en önemli nitel özelliği, karekök içindeki ifadenin negatif olamayacağıdır.

• Tanım Kümesi: Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, kök içerisindeki ifadenin (g(x)) 0’dan büyük veya 0’a eşit olması gerekir. Yani, g(x) ≥ 0 olmalıdır.
• Değer Kümesi (Görüntü Kümesi): Bir karekök ifadesi her zaman pozitif veya 0’a eşit bir değer üreteceği için, f(x) ≥ 0’dır.

Gerçek Sayılarda Tanımlı Rasyonel Fonksiyonlar

Rasyonel fonksiyonlar, P(x) ve Q(x) polinomları olmak üzere, f(x) = P(x) / Q(x) şeklinde ifade edilir.

• Tanım Kümesi: Bir rasyonel fonksiyonun paydası sıfır olamaz. Bu nedenle, Q(x) = 0 yapan x değerleri tanım kümesinden çıkarılır.
• Asimptotlar: Fonksiyonun grafiğinin yaklaştığı ancak asla kesmediği doğrulara asimptot denir.
  • Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan ancak payı sıfır yapmayan x değerlerinde oluşur.
  • Yatay Asimptot: x sonsuza veya eksi sonsuza giderken f(x) fonksiyonunun yaklaştığı bir sabit değerdir. Pay ve paydanın derecelerine göre belirlenir.
  • Eğik Asimptot: Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğunda oluşur.

Ters Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun tersi, y = f(x) denkleminde x ve y değişkenlerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilen fonksiyondur ve f⁻¹(x) ile gösterilir.

• Ters Fonksiyonun Varlığı: Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, bire-bir ve örten olması gerekir.
• Tersini Bulma Adımları:
  1. y = f(x) ifadesindeki f(x) yerine y yazın.
  2. x ve y’nin yerlerini değiştirin.
  3. y’yi yalnız bırakın. Elde ettiğiniz yeni y ifadesi, f⁻¹(x) fonksiyonudur.

Denklem ve Eşitsizliklerin Çözümü

Fonksiyonlar kullanılarak ifade edilen denklem ve eşitsizliklerin çözümü, bu fonksiyonların grafik özelliklerini, tanım ve değer kümelerini dikkate almayı gerektirir.

• Grafik Yöntemi: Denklem veya eşitsizliğin her iki tarafındaki ifadeleri ayrı birer fonksiyon olarak düşünerek, grafiklerinin kesişim noktalarını veya birbirlerine göre konumlarını inceleriz.
• Cebirsel Yöntem: Fonksiyonları içeren denklemleri veya eşitsizlikleri, uygun cebirsel manipülasyonlarla (örneğin, köklü ifadelerden kurtulma, paydaları eşitleme vb.) çözerek sonuca ulaşırız. Bu işlemler sırasında tanım kümesine dikkat etmek önemlidir.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = x² – 6x + 5 parabolünün tepe noktasının koordinatları nedir?

A) (3, -4) B) (-3, 22) C) (1, 0) D) (5, 0) E) (3, 4)

Çözüm: Karesel fonksiyonun tepe noktası T(r, k) olmak üzere, r = -b / 2a formülüyle bulunur. f(x) = x² – 6x + 5 ise a=1, b=-6, c=5’tir. r = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3 k’yi bulmak için x=3 değerini fonksiyonda yerine koyarız: k = f(3) = (3)² – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4 Tepe noktası (3, -4)’tür. Doğru Cevap: A

---

Soru 2: f(x) = √(x – 3) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?

A) x ≥ 3 B) x ≤ 3 C) x > 3 D) x < 3 E) Tüm reel sayılar

Çözüm: Karekök içindeki ifade negatif olamaz, yani x – 3 ≥ 0 olmalıdır. Bu durumda, x ≥ 3 olur. Doğru Cevap: A

---

Soru 3: f(x) = (2x + 1) / (x – 3) fonksiyonunun düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 1/2 B) x = -1/2 C) x = 3 D) y = 2 E) y = 0

Çözüm: Düşey asimptot, paydayı sıfır yapan x değeridir. x – 3 = 0 x = 3 Doğru Cevap: C

---

Soru 4: f(x) = x + 4 fonksiyonunun ters fonksiyonu f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?

A) f⁻¹(x) = x – 4 B) f⁻¹(x) = 4 – x C) f⁻¹(x) = x / 4 D) f⁻¹(x) = 1 / (x + 4) E) f⁻¹(x) = x + 1/4

Çözüm:

1. y = x + 4 yazılır.
2. x ve y’nin yerleri değiştirilir: x = y + 4
3. y yalnız bırakılır: y = x – 4 Yani, f⁻¹(x) = x – 4’tür. Doğru Cevap: A

---

Soru 5: f(x) = x² – 4 ve g(x) = 5 olmak üzere, f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {3} B) {-3, 3} C) {-3} D) {1, -1} E) { } (Boş küme)

Çözüm: x² – 4 = 5 x² = 9 x = 3 veya x = -3 Çözüm kümesi {-3, 3}’tür. Doğru Cevap: B

---

Soru 6: f(x) = x² – 2x + 10 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) x = 1 için en küçük değerini alır. B) Tepe noktası (1, 9)’dur. C) En küçük değeri 9’dur. D) y eksenini (0, 10) noktasında keser. E) Kökleri vardır.

Çözüm: Parabolün tepe noktası r = -b / 2a = -(-2) / (2*1) = 1. f(1) = 1² – 2(1) + 10 = 1 – 2 + 10 = 9. Tepe noktası (1, 9)’dur. (A, B ve C doğru). y eksenini kesim noktası x=0 için f(0) = 10’dur. (D doğru). Kökleri bulmak için diskriminant (Δ) hesaplanır. Δ = b² – 4ac = (-2)² – 4(1)(10) = 4 – 40 = -36. Δ < 0 olduğu için reel kök yoktur, yani x eksenini kesmez. Doğru Cevap: E

---

Soru 7: f(x) = 1 / (x – 2) + 3 fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 B) y = 3 C) y = 0 D) x = 0 E) y = 2

Çözüm: x sonsuza giderken 1 / (x – 2) ifadesi 0’a yaklaşır. Dolayısıyla f(x) = 0 + 3 = 3’e yaklaşır. Yatay asimptot y = 3’tür. Doğru Cevap: B

---

Soru 8: f(x) = √(2x – 10) fonksiyonunun tanım kümesi ve değer kümesi sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) Tanım kümesi: x ≥ 5, Değer kümesi: y ≥ 0 B) Tanım kümesi: x ≥ 5, Değer kümesi: y ≤ 0 C) Tanım kümesi: x ≥ -5, Değer kümesi: y ≥ 0 D) Tanım kümesi: x ≤ 5, Değer kümesi: y ≥ 0 E) Tanım kümesi: x ≤ 5, Değer kümesi: y ≤ 0

Çözüm: Tanım kümesi için: Kök içi negatif olamaz. 2x – 10 ≥ 0 -> 2x ≥ 10 -> x ≥ 5. Değer kümesi için: Karekök fonksiyonu her zaman pozitif veya 0 sonuç verir. f(x) ≥ 0, yani y ≥ 0. Doğru Cevap: A

---

Soru 9: f(x) = 3x – 10 fonksiyonunun ters fonksiyonu f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?

A) f⁻¹(x) = (x + 10) / 3 B) f⁻¹(x) = (x – 10) / 3 C) f⁻¹(x) = 10x + 3 D) f⁻¹(x) = 3x + 10 E) f⁻¹(x) = 10 – 3x

Çözüm:

1. y = 3x – 10 yazılır.
2. x ve y’nin yerleri değiştirilir: x = 3y – 10
3. y’yi yalnız bırakalım: x + 10 = 3y y = (x + 10) / 3 Yani, f⁻¹(x) = (x + 10) / 3’tür. Doğru Cevap: A

---

Soru 10: f(x) = x² – 1 ve g(x) = 3x + 3 olmak üzere, f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-1, 4) B) (-4, 1) C) (-∞, -1) U (4, ∞) D) (-4, ∞) E) (-∞, 1)

Çözüm: x² – 1 < 3x + 3 x² – 3x – 4 < 0 Eşitsizliğin köklerini bulalım: x² – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Kökler x = 4 ve x = -1’dir. x²’nin katsayısı pozitif olduğu için parabol yukarıya doğru bakar. x ekseninin altında kalan kısım, yani negatif olduğu aralık, kökler arasındadır. Çözüm kümesi (-1, 4)’tür. Doğru Cevap: A