Bu konuda, bir doğal sayının yapısını anlamak için kullanılan en temel kavramlardan biri olan asal çarpanlara ayırma işlemini ve bu işlemin, sayının pozitif bölenleri ile nasıl bir ilişkisi olduğunu inceleyeceğiz.

1. Asal Çarpanlara Ayırma

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde tek bir şekilde yazılabilir. Bu işleme asal çarpanlara ayırma denir.

• Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, …).
• Formül: Bir N doğal sayısı, N = a üzeri x . b üzeri y . c üzeri z … şeklinde yazılır.
  • Burada a, b, c asal sayılardır (asal çarpanlar).
  • x, y, z ise birer doğal sayıdır (asal çarpanların üssü).

Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

• 72 = 2 . 36 = 2 . 2 . 18 = 2 . 2 . 2 . 9 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3
• Bu durumda, 72 = 2 üzeri 3 . 3 üzeri 2 şeklinde yazılır.
• 72’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür.

2. Pozitif Tam Bölen Sayısı

Bir doğal sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, asal çarpanların üslerinin bir fazlasını birbiriyle çarparız.

• Formül: Bir N sayısı N = a üzeri x . b üzeri y . c üzeri z … şeklinde ise, pozitif tam bölen sayısı (PTBS) şu formülle bulunur:
  • PTBS = (x+1) . (y+1) . (z+1) …

Örnek: 72 sayısının kaç tane pozitif tam böleni olduğunu bulalım.

• 72 = 2 üzeri 3 . 3 üzeri 2 (asal çarpanlarına ayrılmış hali)
• Üsler 3 ve 2’dir.
• PTBS = (3+1) . (2+1) = 4 . 3 = 12
• Yani, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır.

3. Pozitif Tam Bölenlerin Toplamı

Bir doğal sayının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulmak için, asal çarpanlara ayırdığımız her bir asal sayının üslerine 0’dan başlayıp asal sayının kendi üssüne kadar birer birer artırarak toplanan terimlerin çarpımını kullanırız.

• Formül: Bir N sayısı N = a üzeri x . b üzeri y . c üzeri z … şeklinde ise, pozitif tam bölenlerin toplamı (PTBT) şu formülle bulunur:
  • PTBT = (a üzeri 0 + a üzeri 1 + … + a üzeri x) . (b üzeri 0 + b üzeri 1 + … + b üzeri y) . (c üzeri 0 + c üzeri 1 + … + c üzeri z) …

Örnek: 12 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulalım.

• 12 = 2 üzeri 2 . 3 üzeri 1
• Pozitif bölenlerin toplamı:
  • PTBT = (2 üzeri 0 + 2 üzeri 1 + 2 üzeri 2) . (3 üzeri 0 + 3 üzeri 1)
  • PTBT = (1 + 2 + 4) . (1 + 3) = 7 . 4 = 28
• 12’nin pozitif tam bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Toplamları: 1+2+3+4+6+12 = 28. Sonuç formülle aynıdır.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: 150 sayısının asal çarpanları nelerdir?

A) 2, 3, 5 B) 2, 3, 5, 10 C) 3, 5, 15 D) 5, 10, 15 E) 2, 5

Çözüm: 150 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 150 = 10 . 15 = (2 . 5) . (3 . 5) = 2 . 3 . 5 üzeri 2 Bu durumda, 150’nin asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Doğru Cevap: A

---

Soru 2: 180 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?

A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

Çözüm: Öncelikle 180’i asal çarpanlarına ayıralım. 180 = 18 . 10 = (2 . 9) . (2 . 5) = 2 üzeri 2 . 3 üzeri 2 . 5 üzeri 1 Şimdi üslerin bir fazlasını çarparak pozitif tam bölen sayısını bulalım. PTBS = (2+1) . (2+1) . (1+1) = 3 . 3 . 2 = 18 Doğru Cevap: C

---

Soru 3: A = 2 üzeri 4 . 3 üzeri 1 . 5 üzeri 2 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı kaçtır?

A) 60 B) 120 C) 2175 D) 3255 E) 4500

Çözüm: Pozitif tam bölenlerin toplamı formülünü kullanalım. PTBT = (2 üzeri 0 + 2 üzeri 1 + 2 üzeri 2 + 2 üzeri 3 + 2 üzeri 4) . (3 üzeri 0 + 3 üzeri 1) . (5 üzeri 0 + 5 üzeri 1 + 5 üzeri 2) PTBT = (1+2+4+8+16) . (1+3) . (1+5+25) PTBT = 31 . 4 . 31 = 124 . 31 = 3844 Şıklarda bu cevap bulunmamaktadır. Formülün doğru sonucu 3844’tür. Doğru Cevap: 3844

---

Soru 4: 162 sayısının asal olmayan kaç tane pozitif tam böleni vardır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

Çözüm: Öncelikle 162’yi asal çarpanlarına ayıralım. 162 = 2 . 81 = 2 . 3 üzeri 4 162’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür, yani 2 tane asal böleni vardır. Şimdi 162’nin toplam pozitif tam bölen sayısını bulalım. PTBS = (1+1) . (4+1) = 2 . 5 = 10 Toplam bölen sayısından asal bölen sayısını çıkararak asal olmayan bölen sayısını buluruz. 10 – 2 = 8 Doğru Cevap: B

---

Soru 5: 200 = 2 üzeri x . 5 üzeri y olduğuna göre, x+y değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm: 200 sayısını asal çarpanlarına ayırarak x ve y değerlerini bulabiliriz. 200 = 2 . 100 = 2 . 10 . 10 = 2 . (2 . 5) . (2 . 5) = 2 üzeri 3 . 5 üzeri 2 Bu durumda, x = 3 ve y = 2’dir. x+y = 3+2 = 5 Doğru Cevap: C