Üçgende alan, bir üçgenin kapladığı iki boyutlu yüzeyin ölçümüdür. Üçgenin alanını bulmak için kullanılan birkaç farklı yöntem ve formül bulunmaktadır.

Temel Alan Formülü

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Bu, en yaygın kullanılan alan formülüdür.

• Formül: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2
• Örnek: Eğer bir üçgenin tabanı 10 cm ve bu tabana ait yüksekliği 6 cm ise, alanı: Alan = (10 x 6) / 2 = 60 / 2 = 30 cm^2 olur.

Sinüs Alan Formülü

İki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüsü biliniyorsa, üçgenin alanı bu formülle kolayca bulunabilir.

• Formül: Alan = (1/2) * a * b * sin(C)
  • Burada a ve b, bilinen iki kenar; C ise bu iki kenar arasındaki açıdır.
• Örnek: Bir üçgenin iki kenarı 8 cm ve 10 cm, bu kenarlar arasındaki açı ise 60 derecedir. Alanı bulmak için: Alan = (1/2) * 8 * 10 * sin(60) sin(60) = karekök(3) / 2 olduğu için: Alan = (1/2) * 80 * (karekök(3) / 2) = 40 * (karekök(3) / 2) = 20 * karekök(3) cm^2 olur.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde BC kenarı 14 cm ve bu kenara ait yükseklik 5 cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm^2’dir?

A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65

Çözüm: Üçgenin temel alan formülünü kullanalım: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2 Alan = (14 x 5) / 2 = 70 / 2 = 35 Doğru Cevap: B

---

Soru 2: Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve A açısı = 30 derecedir. Bu üçgenin alanı kaç cm^2’dir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

Çözüm: Sinüs alan formülünü kullanalım: Alan = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(A) Alan = (1/2) * 6 * 8 * sin(30) sin(30) = 1/2 olduğu için: Alan = (1/2) * 48 * (1/2) = 24 * (1/2) = 12 Doğru Cevap: B

---

Soru 3: Alan(ABC) = 40 cm^2 olan bir üçgende, BC kenarının uzunluğu 16 cm olduğuna göre, bu kenara ait yükseklik kaç cm’dir?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Çözüm: Temel alan formülünü kullanarak yüksekliği bulabiliriz: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2 40 = (16 x Yükseklik) / 2 40 = 8 x Yükseklik Yükseklik = 40 / 8 = 5 Doğru Cevap: C

---

Soru 4: Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 7 cm ve 10 cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm^2’dir?

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

Çözüm: Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir. Alan = (Dik Kenar 1 x Dik Kenar 2) / 2 Alan = (7 x 10) / 2 = 70 / 2 = 35 Doğru Cevap: C

---

Soru 5: Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm ve 6 cm olan ikizkenar bir üçgenin alanı kaç cm^2’dir?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

Çözüm: İkizkenar üçgende, eşit kenarların birleştiği köşeden tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler. Bu durumda, taban uzunluğu 6 cm olan üçgenin yüksekliği, tabanı 3 cm’lik iki parçaya ayırır. Pisagor teoreminden yüksekliği bulalım: h^2 + 3^2 = 5^2 h^2 + 9 = 25 h^2 = 16 h = 4 cm Şimdi alanı hesaplayalım: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2 Alan = (6 x 4) / 2 = 24 / 2 = 12 Doğru Cevap: C

---

Soru 6: Alan(ABC) = 30 cm^2 olan bir üçgende, |AB| = 15 cm ve |AC| = 8 cm olduğuna göre, sin(A) değeri kaçtır?

A) 1/2 B) 1/4 C) 3/4 D) 1/3 E) 1/5

Çözüm: Sinüs alan formülünü kullanarak sin(A) değerini bulalım: Alan = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(A) 30 = (1/2) * 15 * 8 * sin(A) 30 = (1/2) * 120 * sin(A) 30 = 60 * sin(A) sin(A) = 30 / 60 = 1/2 Doğru Cevap: A