Dik Üçgende Temel Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgenin bir dar açısı için tanımlanan dört temel trigonometrik oran vardır. Bu oranlar, o açının karşısındaki, komşusundaki ve hipotenüs kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkileri ifade eder.

A açısı için:

• Sinüs (sin A): Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.
  • sin(A) = (Karşı Dik Kenar) / Hipotenüs
• Kosinüs (cos A): Komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.
  • cos(A) = (Komşu Dik Kenar) / Hipotenüs
• Tanjant (tan A): Karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır.
  • tan(A) = (Karşı Dik Kenar) / (Komşu Dik Kenar)
• Kotanjant (cot A): Komşu dik kenar uzunluğunun karşı dik kenar uzunluğuna oranıdır.
  • cot(A) = (Komşu Dik Kenar) / (Karşı Dik Kenar)

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bağıntılar

Bu oranlar arasında birbirleriyle ilişkili çeşitli formüller bulunur.

• Tanjant ve Kotanjant İlişkisi:
  • tan(A) = 1 / cot(A)
  • tan(A) * cot(A) = 1
• Sinüs ve Kosinüs Bağıntısı:
  • tan(A) = sin(A) / cos(A)
  • cot(A) = cos(A) / sin(A)
• Pisagor Teoremi’nden Türeyen Temel Özdeşlik:
  • sin^2(A) + cos^2(A) = 1 Bu özdeşlik, tüm reel sayılar için geçerlidir.
• Tümler Açı İlişkileri: İki açının toplamı 90 derece ise, bu açılara tümler açılar denir. Bir açının sinüsü, tümleri olan açının kosinüsüne eşittir.
  • sin(A) = cos(90 – A)
  • cos(A) = sin(90 – A) Aynı şekilde, tanjant ve kotanjant arasında da bu ilişki geçerlidir:
  • tan(A) = cot(90 – A)
  • cot(A) = tan(90 – A)

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derece, |AB| = 5 cm ve |BC| = 12 cm olduğuna göre, tan(C) değeri kaçtır?

A) 5/12 B) 12/5 C) 5/13 D) 12/13 E) 13/5

Çözüm: Dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. tan(C) = |AB| / |BC| tan(C) = 5 / 12 Doğru Cevap: A

---

Soru 2: cos(x) = 3/5 olduğuna göre, sin(x) değeri kaçtır? (x bir dar açıdır)

A) 2/5 B) 4/5 C) 3/4 D) 1 E) 1/5

Çözüm: Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin^2(x) + (3/5)^2 = 1 sin^2(x) + 9/25 = 1 sin^2(x) = 1 – 9/25 = 16/25 sin(x) = karekök(16/25) = 4/5 Doğru Cevap: B

---

Soru 3: tan(20 derece) * cot(20 derece) + sin^2(45 derece) + cos^2(45 derece) işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm:

• tan(A) * cot(A) = 1 olduğu için, tan(20 derece) * cot(20 derece) = 1’dir.
• sin^2(A) + cos^2(A) = 1 olduğu için, sin^2(45 derece) + cos^2(45 derece) = 1’dir.
• Bu durumda işlemin sonucu: 1 + 1 = 2 Doğru Cevap: C

---

Soru 4: Bir dik üçgende, sin(A) = 1/3 olduğuna göre, tan(A) değeri kaçtır?

A) 1/2 B) 1/karekök(2) C) 1/(2*karekök(2)) D) 1/karekök(8) E) 1/(2karekök(2))

Çözüm: sin(A) = (Karşı Dik Kenar) / Hipotenüs = 1/3 olduğu için, karşı dik kenar 1 birim, hipotenüs 3 birimdir. Pisagor Teoremi’ni kullanarak komşu dik kenarı bulalım. (Komşu)^2 + (Karşı)^2 = (Hipotenüs)^2 (Komşu)^2 + 1^2 = 3^2 (Komşu)^2 + 1 = 9 (Komşu)^2 = 8 Komşu = karekök(8) = 2karekök(2) tan(A) = (Karşı Dik Kenar) / (Komşu Dik Kenar) = 1 / (2karekök(2)) Doğru Cevap: E

---

Soru 5: sin(70 derece) / cos(20 derece) + tan(40 derece) * tan(50 derece) işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm:

• sin(A) = cos(90 – A) olduğu için, sin(70 derece) = cos(90 – 70) = cos(20 derece) olur. Bu durumda, sin(70 derece) / cos(20 derece) = 1’dir.
• tan(A) = cot(90 – A) olduğu için, tan(50 derece) = cot(90 – 50) = cot(40 derece) olur. Bu durumda, tan(40 derece) * tan(50 derece) = tan(40 derece) * cot(40 derece) = 1’dir.
• İşlemin sonucu: 1 + 1 = 2 Doğru Cevap: C

---

Soru 6: sec(x) = 5/3 olduğuna göre, tan(x) değeri kaçtır? (x dar açıdır)

A) 3/4 B) 4/3 C) 5/4 D) 4/5 E) 3/5

Çözüm: sec(x) = 1/cos(x) olduğu için, cos(x) = 3/5’tir. Bir dik üçgen çizersek, komşu dik kenar 3, hipotenüs 5 olur. Pisagor Teoremi’nden karşı dik kenar 4 bulunur (3-4-5 özel üçgeni). tan(x) = (Karşı Dik Kenar) / (Komşu Dik Kenar) = 4/3 Doğru Cevap: B