Karesel fonksiyonlar, matematiğin en temel konularından biridir. Bu fonksiyonların en önemli özelliği, grafiklerinin bir parabol oluşturmasıdır. Karesel fonksiyonların nitel özelliklerini anlamak, parabolün şeklini, konumunu ve kritik noktalarını belirlememizi sağlar.

Bir karesel fonksiyonun genel formu f(x) = ax² + bx + c şeklindedir (a, b, c birer gerçek sayı ve a ≠ 0).

• Parabolün Yönü:
  • Eğer a > 0 ise parabolün kolları yukarı bakar. Bu durumda parabolün bir en küçük (minimum) değeri vardır.
  • Eğer a < 0 ise parabolün kolları aşağı bakar. Bu durumda parabolün bir en büyük (maksimum) değeri vardır.
• Tepe Noktası: Parabolün en alçak ya da en yüksek noktasına tepe noktası denir ve T(r, k) ile gösterilir.
  • r (x-koordinatı): Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini aldığı x değeridir. Formülü: r = -b / 2a.
  • k (y-koordinatı): Fonksiyonun en büyük veya en küçük değeridir. Formülü: k = f(r).
• Simetri Ekseni: Parabolü iki eşit parçaya bölen dikey doğruya simetri ekseni denir. Bu doğru, tepe noktasından geçer ve denklemi x = r şeklindedir.
• Fonksiyonun Kökleri (x-eksenini Kestiği Noktalar): Bir parabolün x-eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Bu kökler, diskriminant (Delta) yardımıyla bulunur.
  • Delta = b² – 4ac
  • Eğer Delta > 0 ise, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser (iki farklı gerçek kök vardır).
  • Eğer Delta = 0 ise, parabol x-eksenine tek noktada teğettir (çakışık iki gerçek kök vardır).
  • Eğer Delta < 0 ise, parabol x-eksenini kesmez (gerçek kök yoktur).

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = x² – 8x + 15 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, -1) B) (4, 1) C) (-4, 1) D) (4, 15) E) (-4, -1)

Çözüm: Tepe noktasının x-koordinatı, r = -b / 2a formülüyle bulunur. f(x) = x² – 8x + 15 fonksiyonunda a = 1, b = -8’dir. r = -(-8) / (2 * 1) = 8 / 2 = 4 Şimdi r = 4 değerini fonksiyonda yerine koyarak y-koordinatını bulalım: k = f(4) = (4)² – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = -1 Tepe noktası (4, -1)‘dir. Doğru Cevap: A

Soru 2: f(x) = -x² + 6x – 7 fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) -2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 7

Çözüm: Fonksiyonun katsayısı a = -1 < 0 olduğundan, parabolün kolları aşağı bakar ve tepe noktası en büyük değeri verir. Öncelikle tepe noktasının x-koordinatını bulalım: r = -b / 2a = -(6) / (2 * -1) = -6 / -2 = 3 Şimdi x = 3 değerini fonksiyonda yerine koyarak en büyük değeri bulalım: f(3) = -(3)² + 6(3) – 7 = -9 + 18 – 7 = 2 Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 2‘dir. Doğru Cevap: D

Soru 3: f(x) = x² + 2x – 3 parabolünün simetri ekseni aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = -1 B) x = 1 C) x = 2 D) y = -1 E) y = 2

Çözüm: Simetri ekseninin denklemi x = r’dir. Tepe noktasının x-koordinatını bulmamız gerekir. r = -b / 2a = -(2) / (2 * 1) = -2 / 2 = -1 Simetri ekseni x = -1 doğrusudur. Doğru Cevap: A

Soru 4: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği x-eksenini iki farklı noktada keser?

A) f(x) = x² + 2x + 1 B) f(x) = x² – 4x + 4 C) f(x) = x² + 2x + 3 D) f(x) = x² – 5x + 6 E) f(x) = x² + 1

Çözüm: Bir fonksiyonun x-eksenini iki farklı noktada kesmesi için diskriminantının (Delta) 0’dan büyük olması gerekir (Delta > 0).

• A) Delta = 2² – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0 (Tek noktada keser)
• B) Delta = (-4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0 (Tek noktada keser)
• C) Delta = 2² – 4(1)(3) = 4 – 12 = -8 < 0 (Kesmez)
• D) Delta = (-5)² – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 > 0 (İki farklı noktada keser)
• E) Delta = 0² – 4(1)(1) = -4 < 0 (Kesmez) Doğru Cevap: D

Soru 5: f(x) = -2x² + 4x + c fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 5 olduğuna göre, c kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Fonksiyonun en büyük değeri, tepe noktasının y-koordinatına eşittir. Önce tepe noktasının x-koordinatını bulalım: r = -b / 2a = -(4) / (2 * -2) = -4 / -4 = 1 Şimdi x = 1 için fonksiyonun değeri 5’e eşit olmalıdır: f(1) = -2(1)² + 4(1) + c = 5 -2 + 4 + c = 5 2 + c = 5 c = 3 Doğru Cevap: C