Kümeler 9. sınıf

Küme gösterim yöntemleri: Üç farklı küme gösterim biçimi bulunmaktadır. Bunlar venn şeması, liste yöntemi ve ortak özellik yöntemidir. Liste yöntemi, kümenin elemanlarının aralara virgül yazılarak eleman tekrarı olmaksızın küme parantezi içerisinde yazılmasıdır. Venn şeması yöntemi, kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir eğri içine önlerine nokta yazılarak eklenmesidir.

Küme, elemanları iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Kümenin belirlenebilmesi için elemanlarının iyi tanımlanmış olması ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması gerekir. Bir kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilirler. Bir x elemanı A kümesinin elemanı ise x e A biçiminde yazar ve x elemanıdır A diye okuruz. A kümesinin elemanlarının sayısı ise s(A) şeklinde gösterilir.

Örnek: "Güzel resimler" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik herkese göre değişkenlik gösterir. Birimiz için güzel olan bir resim başka biri için güzel olmayabilir. "4 ile 6 arasındaki doğal sayılar" ifadesi iyi tanımlı olduğu için küme belirtir. Çünkü 4 ile 6 arasındaki doğal sayı herkes için 5 tir. "Yaşayan zeki insanlar" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü zekilik kavramı kişiye göre değişkenlik gösterir.

Bir küme, bütün elemanlarının sağladığı ortak özelliği belirten bir açık önermeden faydalanılarak gösterilebilir. Bu gösterimde, kümenin elemanlarından her birini temsil eden (x gibi) bir harf seçilir. Elemanların sağlamış olduğu açık önerme ise x e bağlı olarak belirtilir. Dolayısıyla bu küme {x | p(x)} veya {x: p(x)} biçimindedir. Bu gösterimler p(x) açık önermesini sağlayan tüm x lerin kümesi anlamında kullanılır. p önermesi ise kümeyi belirleyen önermedir. Yukarıdaki | sembolüne küme kurma sembolü denir ve bazen : işareti ile gösterilir. Her iki sembol de öyle ki anlamına gelir.

Sonlu sayıda elemana sahip olan kümelere sonlu küme, sonlu olmayan kümelere ise sonsuz küme denir. Hiç bir elemanı olmayan kümelere boş küme denir ve boş kümeler {} sembolü ile gösterilirler.

A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir. A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu A C B biçiminde gösterilir. Diğer bir ifadeyle de B kümesi A kümesini kapsar denir.

Alt kümenin özellikleri: Boş küme her kümenin alt kümesidir, her küme kendisinin alt kümesidir. Bir A kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan kümeye A kümesinin kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. A ve B kümelerinin eşit olması A = B şeklinde yazılır ve A kümesi B kümesine eşittir diye okunur. Eşit kümelerde her iki küme de bir birinin alt kümesidir. Aşağıda verilen kümelerin eşit kümeler olup olmadıklarını inceleyin.

Kümelerde işlemler: A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B kümesinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.

Kümelerde birleşim işleminin tek kuvvet, değişme, birleşme ve etkisiz (birim) eleman özellikleri bulunmaktadır.

A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişim kümesi denir.

Kümelerde kesişim işleminin tek kuvvet, değişme, birleşme ve yutan eleman özellikleri bulunmaktadır.

Üzerinde işlem yapılan ve bütün kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı en geniş kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genel olarak E harfi ile gösterilir. Evrensel küme sabit bir küme olmayıp, değişkendir. Evrensel küme aşağıda verilen özellikleri sağlar.

Kümelerde tümleme işlemi: E evrensel küme ve A kümesi de E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, A kümesinde olmayıp E evrensel kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Bir A kümesinin tümleyeni A' sembolü ile gösterilir ve A üssü şeklinde okunur. Yukarıdaki şekilde verilen renkli bölge A kümesinin tümleyenidir. A ve B kümelerinin de morgan özellikleri bulunmaktadır.

Kümelerde Fark İşlemi: A ve B iki küme olsun. A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir. Bu küme A \ B veya A - B şeklinde gösterilir.

Kartezyen Çarpım, Sıralı İkili: (a, b) şeklinde yazılan eleman sıralı ikilidir. Sıralı ikili birinci ve ikinci bileşenlerden oluşur.

İki kümenin kartezyen çarpımı: Birinci bileşeni A kümesinden ve 2. bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm ikililerin kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir.