Gerçek sayılarda tanımlı karekök fonksiyonlar, en basit haliyle $f(x) = \sqrt{x}$ biçiminde olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların en temel nitel özelliği, tanım kümesidir. Karekök içindeki ifadenin negatif olamayacağı gerçeğinden yola çıkarak, tanım kümesini belirlemek için kök içindeki ifadeyi $\geq 0$ olarak kabul ederiz. Bu nedenle $f(x)=\sqrt{x}$ fonksiyonunun tanım kümesi $[0, \infty)$’dur. Fonksiyonun grafiği, başlangıç noktasından sağa doğru sürekli artan bir eğridir, bu da fonksiyonun daima artan olduğunu gösterir. Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, başlangıç noktasındaki değeridir ki bu da 0’dır. Fonksiyonun bu temel özellikleri, grafiği çizerken ve farklı karekök fonksiyonlarını analiz ederken kilit rol oynar.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

$f(x) = \sqrt{x-3}$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[3, \infty)$
B) $(3, \infty)$
C) $(-\infty, 3]$
D) $(-\infty, 3)$
E) $(-3, \infty)$

Çözüm:
Karekök içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle $x-3 \geq 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek $x \geq 3$ elde ederiz. Bu da tanım kümesinin $[3, \infty)$ olduğunu gösterir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 2:

$f(x) = \sqrt{5-x}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 5]$
B) $[5, \infty)$
C) $(5, \infty)$
D) $(-\infty, 5)$
E) $(-5, \infty)$

Çözüm:
Karekök içindeki ifade $5-x$ negatif olamaz. Bu nedenle $5-x \geq 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek $5 \geq x$, yani $x \leq 5$ elde ederiz. Bu da tanım kümesinin $(-\infty, 5]$ olduğunu gösterir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 3:

$f(x) = \sqrt{x+4}$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) -4
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4

Çözüm:
Karekök ifadesinin alabileceği en küçük değer 0’dır. Bu da $x+4=0$, yani $x=-4$ olduğunda gerçekleşir. Fonksiyonun en küçük değeri $\sqrt{0}=0$’dır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 4:

$f(x) = \sqrt{x-1} + 2$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[1, \infty)$
B) $(1, \infty)$
C) $(-\infty, 1]$
D) $[2, \infty)$
E) $(-2, \infty)$

Çözüm:
Tanım kümesini bulmak için kök içindeki ifadeye bakarız: $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$.
Bu, tanım kümesinin $[1, \infty)$ olduğunu gösterir. Dışarıdaki +2 değeri sadece fonksiyonun grafiğini yukarı ötelemez, tanım kümesini etkilemez.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 5:

$f(x) = \sqrt{x-2}$ fonksiyonu hangi aralıkta artandır?

A) $(-\infty, 2)$
B) $[2, \infty)$
C) $(0, 2)$
D) $(-\infty, \infty)$
E) Fonksiyon daima azalandır.

Çözüm:
$f(x) = \sqrt{x-2}$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)=\sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir. $f(x)=\sqrt{x}$ fonksiyonu daima artandır. Dolayısıyla bu fonksiyon da tanım kümesi olan $[2, \infty)$ aralığında daima artandır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 6:

$f(x) = -\sqrt{x+1}$ fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) Fonksiyonun en büyük değeri yoktur.

Çözüm:
$\sqrt{x+1}$ ifadesinin en küçük değeri 0’dır. Bu ifadeye eksi işareti gelince, ifadenin alabileceği en büyük değer 0 olur. Bu da $x+1=0 \Rightarrow x=-1$ iken gerçekleşir. Fonksiyonun en büyük değeri $-\sqrt{0}=0$’dır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 7:

$f(x) = \sqrt{16-x^2}$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-4, 4]$
B) $(-\infty, 4]$
C) $[4, \infty)$
D) $(-4, 4)$
E) $(-\infty, \infty)$

Çözüm:
Tanım kümesi için $16-x^2 \geq 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz. $16 \geq x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2} \leq \sqrt{16} \Rightarrow |x| \leq 4$.
Bu da $-4 \leq x \leq 4$ demektir. Tanım kümesi $[-4, 4]$ kapalı aralığıdır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 8:

$f(x) = \sqrt{x+2} – 3$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) -5
B) -3
C) -2
D) 0
E) 3

Çözüm:
$\sqrt{x+2}$ ifadesinin en küçük değeri 0’dır. Bu durumda fonksiyonun en küçük değeri $0-3 = -3$ olur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 9:

$f(x) = \sqrt{x^2+1}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

A) $[1, \infty)$
B) $[-1, 1]$
C) $(-\infty, \infty)$
D) $(0, \infty)$
E) Tanım kümesi yoktur.

Çözüm:
Tanım kümesi için kök içindeki ifade $\geq 0$ olmalıdır. $x^2+1$ ifadesi her zaman pozitif bir sayıdır (çünkü $x^2 \geq 0$ olduğundan $x^2+1 \geq 1$ olur). Bu nedenle, bu ifade her zaman pozitif olduğu için $x$ yerine her reel sayı yazılabilir. Tanım kümesi $(-\infty, \infty)$’dur.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 10:

$f(x) = \sqrt{2x-10}$ fonksiyonunun tanım kümesindeki en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10

Çözüm:
Tanım kümesi için $2x-10 \geq 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek $2x \geq 10 \Rightarrow x \geq 5$.
Tanım kümesi $[5, \infty)$’dur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı 5’tir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 11:

$f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiği, $g(x)=\sqrt{x-2}+3$ fonksiyonunun grafiğine dönüştürülürken hangi işlemler uygulanmıştır?

A) 2 birim sola, 3 birim aşağı
B) 2 birim sağa, 3 birim yukarı
C) 2 birim sola, 3 birim yukarı
D) 2 birim sağa, 3 birim aşağı
E) 3 birim sağa, 2 birim yukarı

Çözüm:
$f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonu, $g(x)=\sqrt{x-2}+3$ haline gelmiştir. Kök içindeki $x-2$, grafiği 2 birim sağa ötelemiştir. Dışarıdaki $+3$ ise grafiği 3 birim yukarı ötelemiştir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 12:

$f(x) = \sqrt{x+1}$ fonksiyonunun grafiği ile x eksenini kestiği noktanın koordinatları nedir?

A) $(1, 0)$
B) $(-1, 0)$
C) $(0, 1)$
D) $(0, -1)$
E) Kesişme noktası yoktur.

Çözüm:
x eksenini kestiği noktayı bulmak için $f(x)=0$ denklemini çözelim.
$\sqrt{x+1} = 0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Noktanın koordinatları $(-1, 0)$’dır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 13:

$f(x) = \sqrt{x-3}$ fonksiyonunun görüntü kümesi (değer aralığı) aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 0]$
B) $[0, \infty)$
C) $(3, \infty)$
D) $[3, \infty)$
E) $(-\infty, 3]$

Çözüm:
Bir karekök fonksiyonunun değeri daima 0’dan büyük veya eşittir. $\sqrt{x-3} \geq 0$ olduğundan, fonksiyonun alabileceği en küçük değer 0’dır ve bu değerden sonsuza kadar tüm pozitif değerleri alabilir. Bu nedenle görüntü kümesi $[0, \infty)$’dur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 14:

$f(x) = \sqrt{2x+6}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[3, \infty)$
B) $[-3, \infty)$
C) $(-3, \infty)$
D) $(-\infty, -3]$
E) $[0, \infty)$

Çözüm:
Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Bu nedenle $2x+6 \geq 0$ olmalıdır. $2x \geq -6 \Rightarrow x \geq -3$.
Tanım kümesi $[-3, \infty)$’dur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 15:

Bir karekök fonksiyonunun grafiği, başlangıç noktasından sağa ve yukarıya doğru artan bir eğridir. Bu özellik, fonksiyonun hangi niteliğiyle ilişkilidir?

A) Periyodik olması
B) Tek fonksiyon olması
C) Çift fonksiyon olması
D) Daima artan olması
E) Simetrik olması

Çözüm:
Grafiğin sağa ve yukarıya doğru artan bir eğri olması, x değerleri arttıkça y değerlerinin de sürekli arttığını gösterir. Bu da fonksiyonun daima artan bir fonksiyona ait bir özellik olduğunu ifade eder.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---