Geometrik şekiller, matematiğin temelini oluşturan ve uzayda belirli bir konumu, büyüklüğü ve biçimi olan nesnelerdir. Bu şekillerden en temel olanı ise üçgenlerdir. Üçgen, üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgendir. Üçgenler, kenar uzunluklarına ve iç açılarının ölçülerine göre farklı isimler alırlar:

• Kenarlarına Göre Üçgenler:
  • Eşkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşittir (60 derece).
  • İkizkenar Üçgen: En az iki kenar uzunluğu ve bu kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.
  • Çeşitkenar Üçgen: Tüm kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri birbirinden farklıdır.
• Açılarına Göre Üçgenler:
  • Dar Açılı Üçgen: Tüm iç açılarının ölçüleri 90 dereceden küçüktür.
  • Dik Üçgen: Bir iç açısının ölçüsü 90 dereceye eşittir. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.
  • Geniş Açılı Üçgen: Bir iç açısının ölçüsü 90 dereceden büyüktür.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar: Bir dik üçgende, dar açıların karşısındaki ve yanındaki kenar uzunlukları arasında kurulan oranlara trigonometrik oranlar denir.

• Sinüs (sin): Bir dar açının sinüsü, o açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
  • sin(a) = Karşı Dik Kenar / Hipotenüs
• Kosinüs (cos): Bir dar açının kosinüsü, o açının komşusundaki dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
  • cos(a) = Komşu Dik Kenar / Hipotenüs
• Tanjant (tan): Bir dar açının tanjantı, o açının karşısındaki dik kenarın komşusundaki dik kenara oranına eşittir.
  • tan(a) = Karşı Dik Kenar / Komşu Dik Kenar
• Kotanjant (cot): Bir dar açının kotanjantı, o açının komşusundaki dik kenarın karşısındaki dik kenara oranına eşittir.
  • cot(a) = Komşu Dik Kenar / Karşı Dik Kenar

Temel Trigonometrik Özdeşlikler:

• tan(a) = sin(a) / cos(a)
• cot(a) = cos(a) / sin(a)
• tan(a) * cot(a) = 1
• sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler

Üçgende yardımcı elemanlar, üçgenin özelliklerini belirlemeye ve geometri problemlerini çözmeye yardımcı olan doğru parçalarıdır.

• Kenarortay: Bir köşeyi, bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Kenarortaylar, üçgenin ağırlık merkezinde kesişir.
• Açıortay: Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Üçgende iç açıortaylar, üçgenin iç teğet çemberinin merkezinde kesişir.
• Yükseklik: Bir köşeden, bu köşenin karşısındaki kenara veya kenarın uzantısına indirilen dik doğru parçasıdır. Yükseklikler, üçgenin diklik merkezinde kesişir.
• Kenar Orta Dikme: Bir kenarın orta noktasından geçen ve o kenara dik olan doğru parçasıdır. Kenar orta dikmeler, üçgenin çevrel çemberinin merkezinde kesişir.

Üçgende Alan

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Alan = (Taban x Yükseklik) / 2

• Alan(ABC) = (a * ha) / 2 = (b * hb) / 2 = (c * hc) / 2

Sinüs Alan Formülü: İki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüsü biliniyorsa, üçgenin alanı şu formülle bulunabilir:

• Alan(ABC) = (1/2) * a * b * sin(C)
• Alan(ABC) = (1/2) * b * c * sin(A)
• Alan(ABC) = (1/2) * a * c * sin(B)

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Sinüs Teoremi: Bir üçgende, bir kenar uzunluğunun karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R (R: çevrel çemberin yarıçapı)

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenar ile aralarındaki açının kosinüsünün iki katının çarpımının çıkarılmasıyla elde edilir.

• a^2 = b^2 + c^2 – 2bc * cos(A)
• b^2 = a^2 + c^2 – 2ac * cos(B)
• c^2 = a^2 + b^2 – 2ab * cos(C)

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, B açısı = 90 derece, AB uzunluğu = 6 cm ve BC uzunluğu = 8 cm olduğuna göre, sin(C) değeri kaçtır?

A) 3/4 B) 4/5 C) 3/5 D) 5/4 E) 4/3

Çözüm: Pisagor Teoremi’ni kullanarak hipotenüs uzunluğunu (AC) bulalım. AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 AC = 10 cm sin(C) değeri, C açısının karşısındaki kenarın (AB) hipotenüse (AC) oranına eşittir. sin(C) = AB / AC = 6 / 10 = 3/5 Doğru Cevap: C

---

Soru 2: Bir üçgende, bir kenara ait kenarortay, açıortay ve yükseklik aynı doğru parçası ise bu üçgen nasıl bir üçgendir?

A) Çeşitkenar üçgen B) Dik üçgen C) İkizkenar üçgen D) Geniş açılı üçgen E) Dar açılı üçgen

Çözüm: Bir üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliğin aynı doğru üzerinde olması sadece ikizkenar ve eşkenar üçgenlerde görülür. En genel ifadeyle bu üçgen ikizkenar üçgendir. Doğru Cevap: C

---

Soru 3: Bir ABC üçgeninde, AB uzunluğu = 10 cm, AC uzunluğu = 12 cm ve sin(A) = 1/3 olduğuna göre, üçgenin alanı kaç cm2 dir?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

Çözüm: Üçgenin alanını Sinüs Alan Formülü ile bulabiliriz. Alan = (1/2) * AB * AC * sin(A) Alan = (1/2) * 10 * 12 * (1/3) Alan = (1/2) * 120 * (1/3) = 60 * (1/3) = 20 Doğru Cevap: B

---

Soru 4: Bir ABC üçgeninde BC uzunluğu = 8 cm, A açısı = 30 derece ve C açısı = 45 derece olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm dir?

A) 4√2 B) 4√3 C) 8√2 D) 8√3 E) 16

Çözüm: Sinüs Teoremi’ni kullanalım: AB / sin(C) = BC / sin(A) AB / sin(45) = 8 / sin(30) AB / (√2/2) = 8 / (1/2) AB * (2/√2) = 16 AB = 16 * (√2/2) = 8√2 Doğru Cevap: C

---

Soru 5: Bir ABC üçgeninde AB uzunluğu = 5 cm, AC uzunluğu = 6 cm ve BC uzunluğu = 7 cm olduğuna göre, cos(A) değeri kaçtır?

A) 1/5 B) 1/6 C) 1/7 D) 1/8 E) 1/9

Çözüm: Kosinüs Teoremi’ni kullanalım: a^2 = b^2 + c^2 – 2bc * cos(A) BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2 * AC * AB * cos(A) 7^2 = 6^2 + 5^2 – 2(6)(5) * cos(A) 49 = 36 + 25 – 60 * cos(A) 49 = 61 – 60 * cos(A) 60 * cos(A) = 61 – 49 60 * cos(A) = 12 cos(A) = 12/60 = 1/5 Doğru Cevap: A

---

Soru 6: cos(a) = 4/5 olduğuna göre, tan(a) + sin(a) değeri kaçtır? (a dar açı)

A) 27/20 B) 20/27 C) 16/25 D) 25/16 E) 12/5

Çözüm: cos(a) = 4/5 ise, bir dik üçgen çizersek, komşu dik kenar 4, hipotenüs 5 olur. Pisagor Teoremi’nden karşı dik kenar 3 bulunur (3-4-5 özel üçgeni). sin(a) = Karşı / Hipotenüs = 3/5 tan(a) = Karşı / Komşu = 3/4 tan(a) + sin(a) = 3/4 + 3/5 = 15/20 + 12/20 = 27/20 Doğru Cevap: A

---

Soru 7: Bir ABC üçgeninde, BC uzunluğu = 10 cm’ye ait yükseklik ha = 6 cm olduğuna göre, üçgenin alanı kaç cm2 dir?

A) 16 B) 30 C) 48 D) 60 E) 120

Çözüm: Üçgenin alan formülü: Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 Alan = (10 * 6) / 2 = 60 / 2 = 30 Doğru Cevap: B

---

Soru 8: 2cos^2(x) + 2sin^2(x) – 1 ifadesinin değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm: Trigonometrik özdeşliği kullanalım: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 2cos^2(x) + 2sin^2(x) – 1 = 2(cos^2(x) + sin^2(x)) – 1 = 2(1) – 1 = 1 Doğru Cevap: B

---

Soru 9: Bir ABC üçgeninde, AB = 10 birim, AC = 12 birim ve Alan(ABC) = 24 birimkare olduğuna göre, sin(A) değeri kaçtır?

A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5 D) 4/5 E) 5/6

Çözüm: Sinüs Alan Formülü’nü kullanalım: Alan(ABC) = (1/2) * AB * AC * sin(A) 24 = (1/2) * 10 * 12 * sin(A) 24 = 60 * sin(A) sin(A) = 24/60 = 2/5 Doğru Cevap: B

---

Soru 10: Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 8 cm olduğuna göre, 8 cm’lik kenarın karşısındaki açının kosinüsü kaçtır?

A) 1/7 B) 1/5 C) 2/7 D) 3/5 E) 4/7

Çözüm: Kosinüs Teoremi’ni kullanalım: c^2 = a^2 + b^2 – 2ab * cos(C) 8^2 = 5^2 + 7^2 – 2(5)(7) * cos(C) 64 = 25 + 49 – 70 * cos(C) 64 = 74 – 70 * cos(C) 70 * cos(C) = 74 – 64 70 * cos(C) = 10 cos(C) = 10/70 = 1/7 Doğru Cevap: A