Analitik geometrinin temel taşlarından olan iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölme kavramları, geometrik problemleri cebirsel denklemlerle çözme yeteneği sağlar. İki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor Teoremi’nin koordinat sistemine uyarlanmış hali olup, noktaların koordinatları kullanılarak kolayca hesaplanır. Bir doğru parçasını belli bir oranda bölme ise, parça üzerinde yer alan ve doğru parçasını iki farklı uzunlukta segmente ayıran bir noktanın koordinatlarını bulma işlemidir. Bu bölme işlemi, noktanın segmentin içinde bulunmasına göre **içten bölme**, dışında bulunmasına göre ise **dıştan bölme** olarak ikiye ayrılır. Bu testler, bu iki temel konunun formüllerini ve mantığını pekiştirerek, öğrencilerin daha karmaşık analitik geometri problemlerini çözebilme yeteneklerini geliştirmeyi hedefler.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülü: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

P(-3, 0) ve Q(2, -4) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) $\sqrt{29}$
B) $\sqrt{34}$
C) $\sqrt{41}$
D) $\sqrt{50}$
E) 6

Çözüm:
$d = \sqrt{(2-(-3))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 3:

A(1, 2) ve B(5, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) -4
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4

Çözüm:
$5 = \sqrt{(5-1)^2 + (k-2)^2}$
$25 = 4^2 + (k-2)^2$
$25 = 16 + (k-2)^2$
$9 = (k-2)^2$
$k-2 = 3$ veya $k-2 = -3$.
$k_1=5$ ve $k_2=-1$.
Değerler toplamı $5+(-1)=4$’tür.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 4:

A(1, 5) ve B(7, -1) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir?

A) (3, 2)
B) (4, 3)
C) (4, 2)
D) (3, 4)
E) (2, 4)

Çözüm:
Orta nokta formülü: $O(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
$O(\frac{1+7}{2}, \frac{5+(-1)}{2}) = O(\frac{8}{2}, \frac{4}{2}) = O(4, 2)$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 5:

A(-2, 4) ve B(6, y) noktalarının orta noktası $C(2, 6)$ ise y kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

Çözüm:
Orta noktanın y koordinatı: $\frac{4+y}{2} = 6$
$4+y = 12$
$y=8$.
(x koordinatı kontrolü: $\frac{-2+6}{2} = \frac{4}{2} = 2$, doğru.)
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 6:

A(1, 2) ve B(7, 8) noktaları arasındaki doğru parçasını içten bölen ve $\frac{|AC|}{|BC|} = 2$ oranını sağlayan C noktasının koordinatları nedir?

A) (5, 6)
B) (4, 5)
C) (3, 4)
D) (5, 5)
E) (4, 6)

Çözüm:
C noktasının x koordinatı: $x_C = \frac{x_1+kx_2}{1+k} = \frac{1+2(7)}{1+2} = \frac{15}{3} = 5$.
C noktasının y koordinatı: $y_C = \frac{y_1+ky_2}{1+k} = \frac{2+2(8)}{1+2} = \frac{18}{3} = 6$.
C noktasının koordinatları (5, 6)’dır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 7:

A(-1, 3) ve B(4, 8) noktalarını birleştiren doğru parçasını içten bölen ve $\frac{|AC|}{|CB|} = 1/4$ oranını sağlayan C noktasının koordinatları nedir?

A) (0, 4)
B) (0, 5)
C) (1, 4)
D) (1, 5)
E) (0, 6)

Çözüm:
$k=\frac{1}{4}$. C noktasının x koordinatı: $x_C = \frac{-1+\frac{1}{4}(4)}{1+\frac{1}{4}} = \frac{-1+1}{5/4} = 0$.
C noktasının y koordinatı: $y_C = \frac{3+\frac{1}{4}(8)}{1+\frac{1}{4}} = \frac{3+2}{5/4} = \frac{5}{5/4} = 4$.
C noktasının koordinatları (0, 4)’tür.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 8:

A(1, 1) ve B(5, 7) noktalarını birleştiren doğru parçasını $A$ tarafından dıştan bölen ve $\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{1}{3}$ oranını sağlayan C noktasının koordinatları nedir?

A) (-1, -2)
B) (-2, -1)
C) (-1, -1)
D) (0, 0)
E) (-1, 0)

Çözüm:
C noktası A’ya B’den daha yakındır ve doğru parçasının dışındadır. $k=\frac{1}{3}$. Dıştan bölme formülü: $x_C = \frac{x_1-kx_2}{1-k}$, $y_C = \frac{y_1-ky_2}{1-k}$.
$x_C = \frac{1-\frac{1}{3}(5)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\frac{5}{3}}{2/3} = \frac{-2/3}{2/3} = -1$.
$y_C = \frac{1-\frac{1}{3}(7)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\frac{7}{3}}{2/3} = \frac{-4/3}{2/3} = -2$.
C noktasının koordinatları (-1, -2)’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

A(2, 1) ve B(8, 7) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
Önce orta noktayı bulalım: $O(\frac{2+8}{2}, \frac{1+7}{2}) = O(5, 4)$.
Şimdi O(5, 4) noktasının orijin O(0, 0) noktasına olan uzaklığını bulalım: $d = \sqrt{(5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{5^2+4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$.
Şıklarda tam sayı olarak bir cevap beklenmektedir. Soruda bir hata olabilir. Varsayımsal olarak orta nokta C(3,4) olmalı, bunun için A ve B noktalarını değiştirirsek. A(1,1), B(5,7) orta nokta (3,4), orijine uzaklık 5’tir. Soruyu bu şekilde çözelim.
**Düzeltilmiş Soru Çözümü:** A(1, 1) ve B(5, 7) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?
Orta nokta: $C(\frac{1+5}{2}, \frac{1+7}{2}) = C(3, 4)$.
Orijinle uzaklığı: $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 10:

P(1, 2) ve Q(x, 6) noktaları arasındaki uzaklık $4\sqrt{2}$ birim ise x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Çözüm:
$4\sqrt{2} = \sqrt{(x-1)^2 + (6-2)^2}$
$(4\sqrt{2})^2 = (x-1)^2 + 4^2$
$16 \times 2 = (x-1)^2 + 16$
$32 = (x-1)^2 + 16$
$16 = (x-1)^2$
$x-1=4$ veya $x-1=-4$.
$x_1=5$ ve $x_2=-3$.
Değerler toplamı $5+(-3)=2$’dir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 11:

Bir doğru parçasının orta noktası (3, 5) ve uç noktalarından biri A(1, 2) ise, diğer uç noktası B’nin koordinatları nedir?

A) (4, 7)
B) (5, 8)
C) (5, 7)
D) (2, 3)
E) (6, 10)

Çözüm:
Orta nokta formülünü tersten uygulayalım. B’nin koordinatları $(x, y)$ olsun.
$\frac{1+x}{2} = 3 \Rightarrow 1+x=6 \Rightarrow x=5$.
$\frac{2+y}{2} = 5 \Rightarrow 2+y=10 \Rightarrow y=8$.
B noktasının koordinatları (5, 8)’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 12:

A(2, 6) ve B(8, 3) noktalarını birleştiren doğru parçasını $A$ tarafından dıştan bölen ve $\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{1}{3}$ oranını sağlayan C noktasının koordinatları nedir?

A) (2, 6)
B) (-1, 7.5)
C) (-1, 8.5)
D) (-2, 7.5)
E) (-1, 7)

Çözüm:
$k=\frac{1}{3}$. Dıştan bölme formülü: $x_C = \frac{x_1-kx_2}{1-k}$, $y_C = \frac{y_1-ky_2}{1-k}$.
$x_C = \frac{2-\frac{1}{3}(8)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2-8/3}{2/3} = \frac{-2/3}{2/3} = -1$.
$y_C = \frac{6-\frac{1}{3}(3)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{6-1}{2/3} = \frac{5}{2/3} = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.
C noktasının koordinatları (-1, 7.5)’tir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 13:

A(1, 3) noktasını merkeze alarak 5 birim yarıçaplı bir çember çizildiğinde, çemberin geçtiği noktalardan biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) (1, 8)
B) (6, 3)
C) (4, 7)
D) (-4, 3)
E) (5, 6)

Çözüm:
Noktaların merkeze uzaklığı 5 olmalıdır. Her şıkkı kontrol edelim:
A) $\sqrt{(1-1)^2+(8-3)^2}=\sqrt{0^2+5^2}=5$. (Olabilir)
B) $\sqrt{(6-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{5^2+0^2}=5$. (Olabilir)
C) $\sqrt{(4-1)^2+(7-3)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$. (Olabilir)
D) $\sqrt{(-4-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{(-5)^2+0^2}=5$. (Olabilir)
E) $\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. (Olabilir)

Şıklarda hata vardır. Soruyu aşağıdaki gibi değiştirirsek E şıkkı doğru cevap olabilir.
**Düzeltilmiş Soru:** A(1, 3) noktasını merkeze alarak 5 birim yarıçaplı bir çember çizildiğinde, çemberin geçtiği noktalardan biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
E) (5, 5). Uzaklık: $\sqrt{(5-1)^2+(5-3)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$. Bu 5’e eşit değildir.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 14:

A(-2, 1) noktasını B(3, 1) noktasına 2 birim uzaklıkta dıştan bölen C noktasının koordinatları nedir?

A) (4, 1)
B) (5, 1)
C) (6, 1)
D) (7, 1)
E) (8, 1)

Çözüm:
Bu problemde oran değil, uzaklık verilmiştir. A ve B noktalarının y koordinatları aynı (1) olduğu için, C noktası da aynı y koordinatına sahip olacaktır. Uzunluk $|AB| = |3-(-2)| = 5$’tir. C noktasının B’ye uzaklığı 2 ise, C’nin koordinatı x için $x_B+2 = 3+2=5$’tir. C(5, 1) olur. $\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|5-(-2)|}{|5-3|} = \frac{7}{2}$ oranı sağlanır. Bu bir dıştan bölmedir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 15:

A(1, 1), B(7, 1) ve C(4, 5) noktalarını köşe kabul eden ABC üçgeninin BC kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. BC kenarının orta noktası D olsun: $D(\frac{7+4}{2}, \frac{1+5}{2}) = D(\frac{11}{2}, \frac{6}{2}) = D(5.5, 3)$.
Kenarortay uzunluğu, A(1, 1) ve D(5.5, 3) noktaları arasındaki uzaklıktır.
$d = \sqrt{(5.5-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{(4.5)^2+2^2} = \sqrt{20.25+4}=\sqrt{24.25}$.
Şıklarda tam sayı beklenmektedir. Soruda bir hata vardır. Düzgün bir şekilde yeniden düzenleyelim.
**Düzeltilmiş Soru Çözümü:** A(1, 1), B(7, 1) ve C(1, 5) noktalarını köşe kabul eden ABC üçgeninin AC kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?
AC kenarının orta noktası D: $D(\frac{1+1}{2}, \frac{1+5}{2}) = D(1, 3)$.
Kenarortay uzunluğu, B(7, 1) ile D(1, 3) noktaları arasındaki uzaklıktır.
$d = \sqrt{(7-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{6^2+(-2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}$. Yine tam sayı çıkmadı.
**Başka bir Düzeltilmiş Soru:** A(2, 3) ve B(6, 3) ve C(4, 7). AB kenarına ait kenarortay uzunluğu?
AB orta noktası D: $D(\frac{2+6}{2}, \frac{3+3}{2}) = D(4, 3)$.
Kenarortay uzunluğu, C(4, 7) ile D(4, 3) arasındaki uzaklıktır: $d=\sqrt{(4-4)^2+(7-3)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=4$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---