Kartezyen Çarpım: Boş kümeden farklı A ve B kümeleri verilsin. Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı denir. A x B" şeklinde gösterilir ve "A kartezyen B" diye okunur.
Kısaca; A x B={(x, y) | elemanıdır A ve y elemanıdır B} dir.
Örnek: A = {1, 2} ve B = {4, 5} kümeleri veriliyor. A x B kümesini oluşturalım.
Çözüm: A x B kümesi, birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerden elde edileceğinden,
A x B={(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)} olacaktır.
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {2, 3} kümeleri veriliyor. A x B ve B x A kümelerini oluşturalım.
Çözüm: A = {a, b, c} ve B = {2, 3} olduğundan,
A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3), (c, 2), (c, 3)}
B x A = {(2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, 6)} olacaktır.
Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi A x B, ile B x A kümeleri farklı kümelerdir. Ayrıca A x B ve B x A kümelerinin eleman sayıları eşit ve 6 dır. Kartezyen çarpımının eleman sayısı kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
Örnek: A={x | x < 10, x elemanıdır N)
B={x | 5 küçük eşit x küçük eşit 11, x doğal sayı} kümeleri veriliyor. Buna göre, s(AxB) kaçtır?
A) 60 B) 64 c) 66 D) 70 E) 77
Çözüm: A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olacağından s(A)=11
B={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} olacağından s(B)=7 dir. 0 halde, s(AxB)=s(A).s(B)=11.7 = 77 olacaktır. Doğru cevap "E" seçeneğidir.
Örnek: A ve B kümeleri için s(A)=5 ve s(AxB)=20 eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A){1,2} B) (2, 3, 4} C) {a,b,1,2}
D) (2, 3, a} E) {1, 2, 3, b, c}
Çözüm: s(AxB)=s(A).s(B) olacağından verilen eşitlikler yerine yazılırsa, s(AxB)=s(A).s(B)
20=5.s(B) ise s(B)=4 olur. O halde, B kümesi 4 elemanlı bir küme olmalıdır. Dolayısıyla şıklarda 4 elemanlı yalnızca {a, b, 1, 2} kümesi vardır. Doğru cevap "C" seçeneğidir.
Örnek: A, B ve C kümeleri için, s(AxB)=9, s(AxC)=6 olduğuna göre, s(AuBuc) nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A)8 B)9 c)12 D)15 E)16
Çözüm: s(AxB)=s(A).s(B)=9
s(AxC)=s(A).s(C)=6 dır.
s(A)=1 alınırsa, s(B)=9 ve s(C)=6 olacaktır.
s(AuBuC) nin en büyük olabilmesi için A, B ve C kümelerini ayrık küme gibi düşünebiliriz.
O halde, s(AuBuC)=1+9+6=16 olur.
Doğru cevap "E" seçeneğidir.
