Olasılık teorisinde olayların birbiriyle ilişkili olup olmadığını anlamak, doğru tahminler yapabilmek için hayati öneme sahiptir. Bu bağlamda, **bağımsız olaylar**, birinin gerçekleşmesinin diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemediği durumlardır. Örneğin, bir madeni parayı arka arkaya atmak bağımsız olaylara iyi bir örnektir; ilk atışın sonucu, ikinci atışın sonucunu değiştirmez. Öte yandan, **bağımlı olaylar**da bir olayın gerçekleşmesi, diğerinin olasılığını değiştirir. Örneğin, bir torbadan çekilen topun geri konulmaması, ikinci çekilişin olasılığını etkiler. Bu bağımlı olayların olasılığını hesaplamak için kullanılan yöntemlerden biri de **koşullu olasılık**tır. Koşullu olasılık, bir olayın, başka bir olayın zaten gerçekleştiği bilgisi altında gerçekleşme olasılığını inceler. Bu testler, bu üç temel kavramı pekiştirerek karmaşık olasılık problemlerini çözme becerinizi geliştirmeye odaklanmıştır.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Rastgele bir top çekilip geri atılmadan ikinci bir top çekiliyor. Bu iki olayın ilişkisi nedir?

A) Bağımsız Olaylar
B) Bağımlı Olaylar
C) Ayrık Olaylar
D) Ortak Olaylar
E) Kesin Olaylar

Çözüm:
İlk topun çekilmesiyle toplam top sayısı değişir. Bu durum, ikinci topun çekilme olasılıklarını etkilediği için olaylar bağımlıdır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 2:

Bir zar ve bir madeni paranın aynı anda atılması olayları arasındaki ilişki nedir?

A) Bağımsız Olaylar
B) Bağımlı Olaylar
C) Ayrık Olaylar
D) Koşullu Olaylar
E) Kesişim Olayları

Çözüm:
Zarın sonucu, paranın sonucunu etkilemez. Her bir deneyin çıktısı, diğerinden bağımsızdır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 3:

Bir torbada 5 beyaz ve 3 siyah top vardır. Rastgele bir top çekiliyor, rengine bakılıp geri atılıyor ve ikinci bir top çekiliyor. İkinci topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

A) 3/8
B) 5/8
C) 5/7
D) 4/7
E) 1/2

Çözüm:
Top geri konulduğu için ikinci çekiliş, ilk çekilişten bağımsızdır. Toplam top sayısı ve beyaz top sayısı ilk durumdakiyle aynı kalır.
$P(\text{ikinci top beyaz}) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 4:

Bir zar ardışık iki kez atılıyor. İlk atışta 6, ikinci atışta 6 gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 1/12
C) 1/36
D) 2/6
E) 1

Çözüm:
Zar atışları bağımsız olaylardır. Her bir atışın olasılığı 1/6’dır.
$P(6 \text{ ve } 6) = P(6) \cdot P(6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 5:

Bir sınıfta öğrencilerin %60’ı basketbol, %40’ı futbol oynamaktadır. Her iki sporu da oynama olasılığı %20 ise, futbol oynayan bir öğrencinin aynı zamanda basketbol oynama olasılığı nedir?

A) 0.2
B) 0.4
C) 0.5
D) 0.6
E) 0.8

Çözüm:
Bu bir koşullu olasılık problemidir. P(B|F) = $\frac{P(B \cap F)}{P(F)}$ formülünü kullanırız.
$P(B)=0.6$, $P(F)=0.4$, $P(B \cap F)=0.2$.
$P(B|F) = \frac{0.2}{0.4} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 6:

Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Geri konulmaksızın art arda iki bilye çekiliyor. Birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

A) 6/10
B) 4/10
C) 24/100
D) 24/90
E) 24/80

Çözüm:
Bu olaylar bağımlıdır. $P(K_1 \cap B_2) = P(K_1) \cdot P(B_2 | K_1)$.
$P(K_1) = \frac{6}{10}$.
İlk top kırmızı çekilince torbada 5 kırmızı ve 4 beyaz bilye kalır. Toplam 9 bilye.
$P(B_2 | K_1) = \frac{4}{9}$.
Olasılık: $\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 7:

Bir sınıftaki 30 öğrenciden 12’si erkektir. Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin sınıf listesinde ilk 15 içinde olma olasılığı nedir?

A) 15/30
B) 1/2
C) 12/30
D) 12/15
E) Bu bilgiyle hesaplanamaz.

Çözüm:
“Erkek olduğu bilindiğine göre” ifadesi, örnek uzayımızı sadece erkek öğrencilerle sınırlandırmaktadır. Sınıfta 12 erkek vardır. “Sınıf listesindeki” sıra hakkında bir bilgi verilmemiştir, ancak liste sıralaması rastgele bir öğrenci seçme olasılığını etkilemez. Erkeklerin kaçının ilk 15’te olduğu belirtilmediği için bu olasılık hesaplanamaz.

Ancak, genellikle bu tür sorularda öğrenci listesinin rastgele ve dengeli dağıldığı varsayılır. Bu durumda, erkek öğrencilerin yarısı (12’nin yarısı=6) ilk 15’te olabilir. Bu varsayım altında olasılık $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$’dir. Ancak kesin bir sayı verilmediği için bu varsayımsal bir çözümdür. Şıklar arasında D’yi ele alalım ve 15’ten 12’sini erkek varsayalım.

Soruya daha kesin bir şekilde yaklaşalım: Rastgele seçilen öğrencinin erkek olduğu biliniyorsa, 12 erkek öğrenci yeni örnek uzayımızdır. Bu 12 öğrenciden kaçının ilk 15 içinde olduğunu bilmiyoruz. Bu yüzden cevap E olmalıdır.

**Şıklar yeniden değerlendirilirse:** Şıkların bir cevaba işaret ettiği varsayımıyla soruyu düzeltelim:
Bir sınıfta 15’i ilk 15’te ve 15’i son 15’te olmak üzere 30 öğrenci vardır. İlk 15’teki 7 öğrenci, son 15’teki 5 öğrenci erkektir. Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin ilk 15 içinde olma olasılığı nedir?
Toplam erkek sayısı: $7+5=12$.
İstenen durum (ilk 15’teki erkek sayısı): 7.
Olasılık: $\frac{7}{12}$. Bu da şıklarda yok.

**Soruyu basit tutalım ve şıkların doğru olduğunu varsayalım:** “Erkek olduğu bilindiğine göre” ifadesi yeni örnek uzayın 12 erkek olduğunu belirtir. Eğer soru basitçe “ilk 15 içindeki erkek öğrencilerin tüm erkek öğrencilere oranı nedir?” gibi sorulsaydı, cevap 12/15 olabilirdi, ancak bu şık da mantıklı değil. En doğru yanıt E’dir. Fakat test formatında bir cevap vermek zorunluluğundan dolayı D şıkkını ele alalım.

Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 8:

Bir gruptaki 10 kişiden 4’ü gözlüklüdür. Rastgele seçilen iki kişiden birincinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, ikincinin de gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

A) 3/9
B) 4/9
C) 3/10
D) 4/10
E) 7/10

Çözüm:
İlk kişi gözlüklü olarak seçildikten sonra geriye 9 kişi kalır. Bu 9 kişinin 3’ü gözlüklüdür.
İkinci kişinin de gözlüklü olma olasılığı = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

Bir şehirde yaşayan insanların %70’i kahve içmekte, %50’si çay içmekte ve %30’u her ikisini de içmektedir. Rastgele seçilen bir kişinin çay içtiği bilindiğine göre, aynı zamanda kahve içme olasılığı nedir?

A) 0.3
B) 0.5
C) 0.6
D) 0.7
E) 0.8

Çözüm:
$P(\text{kahve})=0.7$, $P(\text{çay})=0.5$, $P(\text{kahve ve çay})=0.3$.
Bizden $P(\text{kahve} | \text{çay})$ isteniyor.
$P(\text{kahve} | \text{çay}) = \frac{P(\text{kahve ve çay})}{P(\text{çay})} = \frac{0.3}{0.5} = \frac{3}{5} = 0.6$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 10:

Bir zar ve bir madeni para art arda atılıyor. Paranın yazı geldiği bilindiğine göre, zarın 6 gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 1/2
C) 1/12
D) 1
E) 0

Çözüm:
Zar atma ve para atma olayları bağımsızdır. Birinin sonucunun bilinmesi, diğerinin olasılığını değiştirmez. Zarın 6 gelme olasılığı her zaman $\frac{1}{6}$’dır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 11:

İki bağımsız olayın gerçekleşme olasılıkları P(A)=0.4 ve P(B)=0.5’tir. Bu iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı nedir?

A) 0.2
B) 0.4
C) 0.5
D) 0.6
E) 0.9

Çözüm:
Bağımsız olaylarda, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tek tek olasılıklarının çarpımına eşittir.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.2$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 12:

Bir çekmecede 3 mavi ve 7 kırmızı çorap vardır. Rastgele çekilen iki çorabın da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

A) 49/100
B) 21/100
C) 42/90
D) 21/45
E) 49/90

Çözüm:
Bu bağımlı bir olaydır (geri koyulmadığı için).
$P(\text{1. Kırmızı}) = \frac{7}{10}$.
1. çorap kırmızı çekildikten sonra 9 çorap kalır ve bunların 6’sı kırmızıdır.
$P(\text{2. Kırmızı | 1. Kırmızı}) = \frac{6}{9}$.
$P(\text{İkisi de Kırmızı}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{21}{45}$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 13:

A ve B olayları için $P(A)=0.6$, $P(B)=0.5$ ve $P(A \cap B)=0.2$ ise, $P(A | B)$ kaçtır?

A) 0.1
B) 0.2
C) 0.3
D) 0.4
E) 0.5

Çözüm:
Koşullu olasılık formülü: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$P(A|B) = \frac{0.2}{0.5} = \frac{2}{5} = 0.4$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 14:

Bir şirkette çalışanların %60’ı kadındır. Kadınların %80’i yüksek lisans mezunudur. Bu şirketten rastgele seçilen bir çalışanın kadın ve yüksek lisans mezunu olma olasılığı nedir?

A) 0.48
B) 0.6
C) 0.8
D) 0.5
E) 0.14

Çözüm:
$P(\text{kadın}) = 0.6$.
$P(\text{yüksek lisans | kadın}) = 0.8$.
$P(\text{kadın ve yüksek lisans}) = P(\text{kadın}) \times P(\text{yüksek lisans | kadın})$
$P(\text{kadın ve yüksek lisans}) = 0.6 \times 0.8 = 0.48$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 15:

Bir okuldaki öğrencilerin %70’i kitap okumayı, %40’ı film izlemeyi sevmektedir. Her iki etkinliği de seven öğrenci sayısı, kitap okumayı sevenlerin %50’si kadardır. Rastgele seçilen bir öğrencinin film izlemeyi sevdiği bilindiğine göre, kitap okumayı sevme olasılığı kaçtır?

A) 0.2
B) 0.35
C) 0.4
D) 0.5
E) 0.875

Çözüm:
$P(\text{kitap})=0.7$, $P(\text{film})=0.4$.
$P(\text{kitap ve film}) = P(\text{kitap}) \times 0.5 = 0.7 \times 0.5 = 0.35$.
İstenen koşullu olasılık: $P(\text{kitap} | \text{film}) = \frac{P(\text{kitap ve film})}{P(\text{film})} = \frac{0.35}{0.4} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} = 0.875$.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---