Bir doğal sayının asal çarpanları, o sayının tam olarak bölünebildiği asal sayılardır. Bu asal çarpanlar, sayının “yapı taşları” olarak düşünülebilir. Her doğal sayı, bir asal çarpanların çarpımı şeklinde benzersiz bir biçimde ifade edilebilir. Bu ifadeye asal çarpanlarına ayırma denir. Örneğin, $24 = 2^3 \cdot 3^1$ olarak yazılır. Bu asal çarpanlara ayırma, o sayının tüm pozitif tam sayı bölenlerini bulmak için çok güçlü bir yöntem sunar. Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlarının kuvvetlerine bir eklenerek bulunan sayılar çarpılır. Örneğin, 24 sayısının pozitif bölen sayısı $(3+1) \cdot (1+1) = 8$ tanedir. Bu yöntem, matematiğin temel konularından biri olup, sayılar teorisi ve diğer ileri konular için sağlam bir zemin oluşturur.

---

15 Soruluk Şıklı Çözümlü Test

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

72 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18

Çözüm:
$72 = 2^3 \cdot 3^2$.
Pozitif bölen sayısı = $(3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

150 sayısının asal çarpanları nelerdir?

A) 2 ve 3
B) 3 ve 5
C) 2, 3 ve 5
D) 2 ve 5
E) 3 ve 5

Çözüm:
$150 = 15 \cdot 10 = (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 3:

108 sayısının kaç tane tek pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

Çözüm:
$108 = 2^2 \cdot 3^3$.
Tek bölenleri bulmak için sadece 2’nin kuvvetlerini yok sayarız. $3^3$’ün pozitif bölen sayısı $(3+1)=4$ tanedir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 4:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24

Çözüm:
Toplam pozitif bölen sayısı: $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
Tek bölen sayısı: $3^2 \cdot 5^1$’den dolayı $(2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$.
Çift bölen sayısı: $24 – 6 = 18$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 5:

$7^3 \cdot 11^2$ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15

Çözüm:
Pozitif bölen sayısı = $(3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 6:

140 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
$140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$.
Asal çarpanları 2, 5 ve 7 olmak üzere 3 tanedir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 7:

$A = 2^x \cdot 3^2$ sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, x kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Pozitif bölen sayısı = $(x+1)(2+1) = 12$.
$(x+1) \cdot 3 = 12 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 8:

450 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 3’ün katıdır?

A) 6
B) 8
C) 12
D) 15
E) 18

Çözüm:
$450 = 45 \cdot 10 = 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
3’ün katı olan bölenler için 3 çarpanını kenara ayırırız. Geriye kalan sayı $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2$ olur. Bunun pozitif bölen sayısı $(1+1)(1+1)(2+1) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ tanedir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 9:

$10^2 \cdot 15^3$ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 24
B) 30
C) 48
D) 54
E) 60

Çözüm:
$10^2 \cdot 15^3 = (2 \cdot 5)^2 \cdot (3 \cdot 5)^3 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^5$.
Pozitif bölen sayısı = $(2+1)(3+1)(5+1) = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 10:

600 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 5’in katı değildir?

A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24

Çözüm:
$600 = 6 \cdot 100 = 2 \cdot 3 \cdot 10^2 = 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2$.
Toplam pozitif bölen sayısı = $(3+1)(1+1)(2+1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$.
5’in katı olmayan bölenleri bulmak için 5 çarpanlarını yok sayarız. Kalan sayı $2^3 \cdot 3^1$’dir. Bu sayının bölen sayısı $(3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8$ tanedir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 11:

$A = 2^a \cdot 3^2$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 9 olduğuna göre, A en az kaçtır?

A) 12
B) 18
C) 36
D) 72
E) 108

Çözüm:
Pozitif bölen sayısı $(a+1)(2+1) = 9 \Rightarrow (a+1) \cdot 3 = 9 \Rightarrow a+1 = 3 \Rightarrow a=2$.
$A = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 12:

120 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi asal sayıdır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
$120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
Asal bölenleri 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 13:

$A = 10^x$ sayısının 21 tane pozitif böleni olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
$A = 10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$.
Pozitif bölen sayısı = $(x+1)(x+1) = 21 \Rightarrow (x+1)^2 = 21$.
Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur. Soru hatalıdır.

---

Soru 14:

360 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 30

Çözüm:
$360 = 36 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
Pozitif bölen sayısı = $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 15:

$18^2 \cdot 25$ sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?

A) 5
B) 7
C) 10
D) 12
E) 15

Çözüm:
$18^2 \cdot 25 = (2 \cdot 3^2)^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.
Asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Asal çarpanları toplamı = $2+3+5=10$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Umarım bu test, konuyu pekiştirmenize yardımcı olmuştur. Başarılar dileriz!