Bir doğal sayının asal çarpanları, o sayının tam olarak bölünebildiği asal sayılardır. Bu asal çarpanlar, sayının “yapı taşları” olarak düşünülebilir. Her doğal sayı, bir asal çarpanların çarpımı şeklinde benzersiz bir biçimde ifade edilebilir. Bu ifadeye asal çarpanlarına ayırma denir. Örneğin, $24 = 2^3 \cdot 3^1$ olarak yazılır. Bu asal çarpanlara ayırma, o sayının tüm pozitif tam sayı bölenlerini bulmak için çok güçlü bir yöntem sunar. Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlarının kuvvetlerine bir eklenerek bulunan sayılar çarpılır. Örneğin, 24 sayısının pozitif bölen sayısı $(3+1) \cdot (1+1) = 8$ tanedir. Bu yöntem, matematiğin temel konularından biri olup, sayılar teorisi ve diğer ileri konular için sağlam bir zemin oluşturur.

10. Sınıf Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Testleri

📚 Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler

Matematikte sayıların derinliklerine inmek, onların yapı taşlarını anlamakla başlar. Her doğal sayının kendine özgü bir kimliği vardır ve bu kimlik, onun asal çarpanları tarafından belirlenir. Bu ders notunda, bir doğal sayının asal çarpanlarının, o sayının tüm bölenlerini nasıl etkilediğini, bölen sayısını, bölenlerin toplamını ve hatta tek veya çift bölenleri nasıl bulabileceğimizi adım adım keşfedeceğiz. Bu ilişkileri anlamak, sadece matematik problemlerini çözmekle kalmayacak, aynı zamanda sayıların dünyasına dair daha geniş bir perspektif kazanmanızı sağlayacak. Hazır mısın? Hadi başlayalım!

🔍 Asal Çarpanlara Ayırma: Temel Bilgiler

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayıyı sadece asal sayılardan oluşan bir çarpım şeklinde yazmak demektir. Bu, sayıların “DNA”sını ortaya çıkarmak gibidir.

• ✅ Asal Sayı Nedir? Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir (örn: 2, 3, 5, 7, 11…).
• ➡️ Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri:
  • Çarpan Ağacı: Sayıyı dallara ayırarak en küçük asal çarpanlarına ulaşana kadar bölme.
  • Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması): Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırasıyla bölme.

💡 Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.$60 = 2 \cdot 30$
$30 = 2 \cdot 15$
$15 = 3 \cdot 5$
Yani, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

🔢 Pozitif Bölen Sayısını Bulma

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali bilindiğinde, o sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu kolayca bulabiliriz.

• ✅ Eğer bir doğal sayı $N$, asal çarpanlarına ayrılmış haliyle $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif bölen sayısı (PBS), asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
• ➡️ Formül: $PBS = (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$

💡 Örnek: 60 sayısının pozitif bölen sayısını bulalım.$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Üsler: $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=1$.
$PBS = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
Yani 60 sayısının 12 tane pozitif böleni vardır (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60).

➕ Pozitif Bölenlerin Toplamını Bulma

Sadece bölen sayısını değil, aynı zamanda tüm pozitif bölenlerin toplamını da asal çarpanlar yardımıyla bulabiliriz.

• ✅ Eğer bir doğal sayı $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif bölenlerinin toplamı (PBT) aşağıdaki formülle bulunur.
• ➡️ Formül: $PBT = (1+p_1+p_1^2+\dots+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\dots+p_2^{a_2})\dots(1+p_k+p_k^2+\dots+p_k^{a_k})$

💡 Örnek: 60 sayısının pozitif bölenlerinin toplamını bulalım.$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
$PBT = (1+2^1+2^2)(1+3^1)(1+5^1)$
$PBT = (1+2+4)(1+3)(1+5)$
$PBT = (7)(4)(6) = 168$.

🌗 Tek ve Çift Bölenler

Bir sayının bölenlerini tek ve çift olarak da ayırabiliriz. Bu ayrım, asal çarpanlara ayırma ile oldukça basittir.

• ✅ Tek Bölen Sayısı: Bir sayının tek bölenlerini bulmak için, asal çarpanlara ayrılmış halinde sadece 2 dışındaki asal çarpanların üslerini kullanırız. Yani 2’nin üssünü yok sayarız.
  • Eğer $N = 2^a \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$ ise, Tek Bölen Sayısı (TBS) $= (a_2+1)\dots(a_k+1)$
• ➡️ Çift Bölen Sayısı: Toplam pozitif bölen sayısından tek bölen sayısını çıkararak bulunur.
  • ÇBS = PBS – TBS

💡 Örnek: 60 sayısının tek ve çift bölen sayısını bulalım.$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Tek Bölen Sayısı (TBS): 2’nin üssünü yok sayarız. Sadece $3^1 \cdot 5^1$ kısmına bakarız.
$TBS = (1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 = 4$. (Tek bölenler: 1, 3, 5, 15)
Çift Bölen Sayısı (ÇBS): Toplam pozitif bölen sayısı 12 idi.
$ÇBS = PBS – TBS = 12 – 4 = 8$. (Çift bölenler: 2, 4, 6, 10, 12, 20, 30, 60)

📏 Tam Sayı Bölenleri

Şimdiye kadar pozitif bölenlerden bahsettik. Ancak bir sayının bölenleri sadece pozitif sayılardan ibaret değildir, aynı zamanda negatif bölenleri de vardır.

• ✅ Bir doğal sayının her pozitif böleni için, onun bir de negatif eşleniği bulunur.
• ➡️ Bu nedenle, bir sayının tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölen sayısının iki katıdır.
• Formül: Tam Sayı Bölen Sayısı = $2 \times PBS$

💡 Örnek: 60 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.60 sayısının pozitif bölen sayısı (PBS) 12 idi.
Tam Sayı Bölen Sayısı = $2 \times 12 = 24$.
(Yani 1, 2, …, 60 ve -1, -2, …, -60)