Bir doğal sayının bir başka doğal sayıya bölümünden kalanı bulmak için, bölme işlemini tamamen yapmak yerine bölünebilme özelliklerinden faydalanabiliriz. Bu yöntem, özellikle büyük sayılarla uğraşırken zaman kazandırır ve pratik bir çözüm sunar.

1. Temel Bölünebilme Kuralları ve Kalan İlişkisi

Aşağıda en sık kullanılan bölünebilme kuralları ve bu kuralların kalan bulmada nasıl kullanıldığı açıklanmıştır:

• 2 ile Bölünme: Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağının 2 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 748 sayısının 2 ile bölümünden kalan, 8’in 2 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0’dır.
• 3 ile Bölünme: Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 527 sayısının 3 ile bölümünden kalan, (5+2+7) = 14’ün 3 ile bölümünden kalana eşittir. 14’ün 3’e bölümünden kalan 2’dir.
• 4 ile Bölünme: Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 3125 sayısının 4 ile bölümünden kalan, 25’in 4’e bölümünden kalana eşittir. 25 = 4 x 6 + 1 olduğundan, kalan 1’dir.
• 5 ile Bölünme: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağının 5 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 983 sayısının 5 ile bölümünden kalan, 3’ün 5’e bölümünden kalana eşittir. Kalan 3’tür.
• 8 ile Bölünme: Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 14216 sayısının 8 ile bölümünden kalan, 216’nın 8’e bölümünden kalana eşittir. 216 = 8 x 27 olduğundan, kalan 0’dır.
• 9 ile Bölünme: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.
  • Örnek: 6548 sayısının 9 ile bölümünden kalan, (6+5+4+8) = 23’ün 9’a bölümünden kalana eşittir. 23 = 9 x 2 + 5 olduğundan, kalan 5’tir.
• 10 ile Bölünme: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının birler basamağına eşittir.
  • Örnek: 127 sayısının 10 ile bölümünden kalan 7’dir.
• 11 ile Bölünme: Bir sayının 11 ile bölümünden kalan, sayının rakamları birler basamağından başlayarak sırasıyla (+), (-), (+), (-) şeklinde işaretlenerek toplandığında elde edilen sonucun 11 ile bölümünden kalanına eşittir. Negatif bir sonuç elde edilirse, 11’in katları eklenerek pozitif bir kalan bulunur.
  • Örnek: 4278 sayısının 11 ile bölümünden kalan: (+8) – (+7) + (+2) – (+4) = 8 – 7 + 2 – 4 = -1. Kalan negatif olamayacağından, 11 ekleriz: -1 + 11 = 10. Kalan 10’dur.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: 7647 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına bakarız. 7 + 6 + 4 + 7 = 24 Şimdi 24’ün 9 ile bölümünden kalanı bulalım: 24 = 9 * 2 + 6 Kalan 6’dır. Şıklarda bu cevap bulunmamaktadır. İşlemi tekrar kontrol edelim. 7 + 6 + 4 + 7 = 24. 24/9 = 2 kalan 6. Soruda bir hata olabilir. En yakın şıkkı işaretlemek yerine doğru sonucu belirtmek daha uygun olacaktır. Doğru Cevap: 6

Soru 2: 19A5 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, A yerine yazılabilecek kaç farklı rakam vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm: Rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır. 1 + 9 + A + 5 = 15 + A 15 + A sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, 15 zaten 3’ün katı olduğu için A’nın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır. A yerine gelebilecek rakamlar: 1 (1’in 3’e bölümünden kalan 1) 4 (4’ün 3’e bölümünden kalan 1) 7 (7’nin 3’e bölümünden kalan 1) A yerine yazılabilecek 3 farklı rakam vardır. Doğru Cevap: C

Soru 3: 47B6 dört basamaklı sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, B’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

Çözüm: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağa bakarız. B6 sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. B yerine 0’dan 9’a kadar olan rakamları deneyelim: 06’nın 4’e bölümünden kalan 2’dir. (B=0) 16’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır. 26’nın 4’e bölümünden kalan 2’dir. (B=2) 36’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır. 46’nın 4’e bölümünden kalan 2’dir. (B=4) 56’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır. 66’nın 4’e bölümünden kalan 2’dir. (B=6) 76’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır. 86’nın 4’e bölümünden kalan 2’dir. (B=8) 96’nın 4’e bölümünden kalan 0’dır. B’nin alabileceği değerler: 0, 2, 4, 6, 8’dir. Bu değerlerin toplamı: 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Doğru Cevap: 20 (Şıklarda yer almıyor, ancak bu işlemin doğru sonucudur.)