Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için her zaman uzun bölme işlemi yapmak zorunda değiliz. Özellikle büyük sayılar için, bölünebilme kuralları bu işlemi çok daha hızlı ve pratik hale getirir. Örneğin, bir sayının 5’e bölümünden kalanı bulmak için son basamağına bakmak yeterlidir. Sayının son basamağının 5’e bölümünden kalan, tüm sayının 5’e bölümünden kalana eşittir. Benzer şekilde, bir sayının rakamları toplamının 3’e veya 9’a bölümünden kalan, o sayının 3’e veya 9’a bölümünden kalana eşittir. Daha ileri düzeyde, bir sayının 4’e bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına, 8’e bölümünden kalanı bulmak için ise son üç basamağına bakılır. Bu yöntemler, modüler aritmetik adı verilen matematiğin bir alt dalının temelini oluşturur ve sayıların yapısını daha derinlemesine anlamamızı sağlar. Bu test, farklı bölünebilme kurallarını kullanarak kalan bulma becerinizi geliştirmek için hazırlanmıştır.

---

Bölünebilme Kuralları ve Kalan Bulma Testi

Aşağıdaki soruları dikkatlice çözünüz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

Dört basamaklı 5283 sayısının 5’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Çözüm:
Bir sayının 5’e bölümünden kalanı bulmak için son basamağa bakılır. 5283 sayısının son basamağı 3’tür. 3 sayısının 5’e bölümünden kalan yine 3’tür.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 2:

6 basamaklı 456789 sayısının 9’a bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 6

Çözüm:
Bir sayının 9’a bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 9’a bölümünden kalana bakılır.
Rakamları toplamı: $4+5+6+7+8+9 = 39$.
39 sayısının 9’a bölümünden kalanı bulalım: $39 = 9 \cdot 4 + 3$.
Kalan 3’tür.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 3:

8724 sayısının 4’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Çözüm:
Bir sayının 4’e bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağının 4’e bölümünden kalana bakılır.
8724 sayısının son iki basamağı 24’tür.
24 sayısı 4’e tam bölünür ($24 = 4 \cdot 6$). Dolayısıyla kalan 0’dır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 4:

5 basamaklı 78315 sayısının 3’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5

Çözüm:
Bir sayının 3’e bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 3’e bölümünden kalana bakılır.
Rakamları toplamı: $7+8+3+1+5 = 24$.
24 sayısı 3’e tam bölünür ($24 = 3 \cdot 8$). Dolayısıyla kalan 0’dır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 5:

5 basamaklı 7192A sayısının 6’ya bölümünden kalan 5 olduğuna göre, A rakamı kaçtır?

A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9

Çözüm:
Sayı 6’ya bölündüğünde kalan 5 ise, hem 2’ye hem de 3’e bölündüğünde kalan 5 olmalıdır. Ancak 5 > 2 ve 5 > 3 olduğu için bu doğru değildir. Sayı 2’ye bölündüğünde kalan 1, 3’e bölündüğünde kalan 2 olmalıdır.
1. 2’ye bölünebilme kuralı: Sayının 2’ye bölümünden kalan 1 ise, A rakamı tek olmalıdır. A, 1, 3, 5, 7, 9 olabilir.
2. 3’e bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamının 3’e bölümünden kalan 2 olmalıdır.
Rakamları toplamı: $7+1+9+2+A = 19+A$.
$19+A$ sayısının 3’e bölümünden kalan 2 olmalıdır. $19 = 3 \cdot 6 + 1$ olduğundan, $1+A$ sayısının 3’e bölümünden kalan 2 olmalıdır.
Bu koşulu sağlayan A değerleri: $1+A = 2, 5, 8, …$
A = 1, 4, 7… olabilir.
Her iki koşulu (A’nın tek olması ve A’nın 1, 4, 7, … olması) sağlayan rakamlar 1 ve 7’dir.
Şıklarda 1 ve 7 olduğundan, ikisi de doğru olabilir. Bu durumda soru birden fazla doğru cevap verebilir, ancak şıklara göre 1 veya 7’den birini işaretlememiz istenir. Şıklarda sadece 1 ve 7 var.
En küçük A değeri 1’dir, şıklarda 1 var.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 6:

6 basamaklı 812543 sayısının 11’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6

Çözüm:
11’e bölünebilme kuralına göre, rakamları birler basamağından başlayarak bir artı bir eksi şeklinde toplayalım.
$3 – 4 + 5 – 2 + 1 – 8 = -5$.
Sonuç negatifse 11’in katları eklenerek pozitif bir değer bulunur: $-5 + 11 = 6$.
Kalan 6’dır.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 7:

758 sayısının 8’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
Bir sayının 8’e bölümünden kalanı bulmak için son üç basamağının 8’e bölümünden kalana bakılır. Bu sayı zaten üç basamaklı olduğu için sayının tamamına bakmalıyız.
758 sayısını 8’e bölelim: $758 = 8 \cdot 94 + 6$.
Kalan 6’dır.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 8:

Bir tam sayının 15’e bölümünden kalan 7’dir. Bu sayının 3’e bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Çözüm:
Sayımız $A$ olsun. $A = 15k + 7$ şeklinde yazabiliriz. Burada $k$ bir tam sayıdır.
Bu sayının 3’e bölümünden kalanı bulmak için ifadeyi 3 parantezine alalım:
$A = 15k + 7 = 3 \cdot (5k) + 6 + 1 = 3 \cdot (5k + 2) + 1$.
Görüldüğü gibi, ifade 3’ün bir katı artı 1 şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla 3’e bölümünden kalan 1’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---