Bu ünite, daha önce öğrendiğimiz doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonların özelliklerini kullanarak denklem ve eşitsizlik çözümlerini ele alır. Doğrusal denklemler basit cebirsel manipülasyonlarla çözülürken, karesel denklemler için çarpanlara ayırma, diskriminant veya tam kareye tamamlama gibi yöntemler kullanılır. Eşitsizliklerde ise kritik noktalar bulunarak işaret tablosu oluşturulur. Karekök içeren denklemlerde köklü ifadeyi yalnız bırakıp her iki tarafın karesi alınır; ancak bu işlem “sahte kökler” (gereksiz çözümler) üretebileceği için bulunan çözümlerin mutlaka ilk denklemde kontrol edilmesi gerekir. Rasyonel denklemler paydalar eşitlenerek çözülürken, eşitsizlikleri için hem payın hem de paydanın kökleri dikkate alınarak işaret tablosu yapılır.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

Bir sayının 3 katının 5 fazlası 20’ye eşittir. Bu sayı kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Çözüm:
Sayıyı $x$ ile gösterirsek, denklem $3x+5=20$ olur. Çözelim:
$3x = 20-5$
$3x = 15$
$x = 5$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

$2(x-1) + 4 = 12$ denkleminin çözümü nedir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
$2(x-1) + 4 = 12$
$2x – 2 + 4 = 12$
$2x + 2 = 12$
$2x = 10$
$x = 5$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 3:

$x^2-5x+6 = 0$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{-2, 3\}$
B) $\{-3, -2\}$
C) $\{2, 3\}$
D) $\{-6, 1\}$
E) $\{6, 1\}$

Çözüm:
Denklemi çarpanlara ayıralım:
$(x-2)(x-3) = 0$
Bu denklemin kökleri $x=2$ ve $x=3$’tür.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 4:

$(x-1)^2 > 4$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$
B) $(-1, 3)$
C) $(1, 3)$
D) $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
E) $\mathbb{R}$

Çözüm:
$(x-1)^2 – 4 > 0$
$(x-1-2)(x-1+2) > 0$
$(x-3)(x+1) > 0$.
Kritik noktalar $x=3$ ve $x=-1$’dir. İşaret tablosu yaparsak, aralıklar $(-\infty, -1)$ ve $(3, \infty)$’dur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 5:

$\sqrt{x+2} = 3$ denkleminin çözümü nedir?

A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 16

Çözüm:
Her iki tarafın karesini alalım:
$(\sqrt{x+2})^2 = 3^2$
$x+2 = 9$
$x=7$.
Kontrol: $\sqrt{7+2} = \sqrt{9}=3$. Çözüm doğrudur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 6:

$\sqrt{x-1} = x-3$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{2, 5\}$
B) $\{2\}$
C) $\{5\}$
D) $\{3\}$
E) $\{-3, 5\}$

Çözüm:
Her iki tarafın karesini alalım:
$x-1 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2-6x+9$
$x^2-7x+10 = 0$
$(x-2)(x-5) = 0$. Kökler $x=2$ ve $x=5$’tir.
Kontrol edelim: $x=2$ için $\sqrt{2-1} = 2-3 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1=-1$ (yanlış).
$x=5$ için $\sqrt{5-1} = 5-3 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2=2$ (doğru).
Tek çözüm $x=5$’tir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 7:

$\frac{2}{x-1} = 4$ denkleminin çözümü nedir?

A) $1/2$
B) $3/2$
C) $5/2$
D) $2/3$
E) $1$

Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
$2 = 4(x-1)$
$2 = 4x-4$
$6 = 4x$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 8:

$\frac{x-1}{x+2} \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-2, 1]$
B) $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$
C) $(1, \infty)$
D) $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$
E) $[-2, 1]$

Çözüm:
Payın kökü $x=1$, paydanın kökü $x=-2$’dir. Bu noktaları işaret tablosuna yerleştirelim.
$-2$ ve $1$ kritik noktalardır. İşaret tablosunda $x>1$ için ifade pozitif, $-2<x<1$ için negatif, $x<-2$ için pozitif olur. Payda sıfır olamayacağı için $x=-2$ dahil değildir. Pay sıfır olabilir, bu nedenle $x=1$ dahildir.
Çözüm kümesi $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$’dur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 9:

Bir dikdörtgenin alanı 32 $cm^2$ ve uzun kenarı kısa kenarının 2 katı ise, kısa kenarı kaç cm’dir?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 16

Çözüm:
Kısa kenar $x$ olsun. Uzun kenar $2x$ olur. Alan: $x \cdot 2x = 32$
$2x^2 = 32$
$x^2 = 16$
$x=4$ veya $x=-4$. Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için $x=4$’tür.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 10:

Bir sayının karesinin 3 fazlası 12’ye eşittir. Bu sayı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) $\sqrt{5}$
E) $\pm 3$

Çözüm:
Sayıyı $x$ ile gösterirsek, denklem $x^2+3=12$ olur.
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 11:

$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x-2}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) $\{3\}$
B) $\{2\}$
C) $\{2, 3\}$
D) $\mathbb{R}-\{2\}$
E) $\emptyset$

Çözüm:
Paydalar eşit olduğu için paylar da eşit olmalıdır: $x=3$.
Ancak, rasyonel denklemlerde paydanın sıfır olmaması gerekir. $x=2$ değeri paydayı sıfır yapar, bu yüzden $x=2$ tanım kümesinde değildir. Bulduğumuz çözüm $x=3$ paydayı sıfır yapmadığı için geçerlidir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 12:

$\sqrt{2x+1} – \sqrt{x} = 1$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) $\{0, 4\}$
B) $\{4\}$
C) $\{0\}$
D) $\{3\}$
E) $\{1\}$

Çözüm:
$\sqrt{2x+1} = 1+\sqrt{x}$
Her iki tarafın karesini alalım: $2x+1 = 1+2\sqrt{x}+x$
$x = 2\sqrt{x}$.
Her iki tarafın tekrar karesini alalım: $x^2 = 4x \Rightarrow x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0$.
Kökler $x=0$ ve $x=4$. Kontrol edelim:
$x=0$ için: $\sqrt{1} – \sqrt{0} = 1-0 = 1$ (doğru).
$x=4$ için: $\sqrt{9} – \sqrt{4} = 3-2 = 1$ (doğru).
Her iki çözüm de geçerlidir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 13:

$f(x)=x^2-4x$ ve $g(x)=x$ fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8

Çözüm:
Kesim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitleyelim:
$x^2-4x = x$
$x^2-5x = 0$
$x(x-5) = 0$.
Kökler $x=0$ ve $x=5$’tir. Apsislerin toplamı $0+5=5$’tir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 14:

$\frac{2x+1}{x-3} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, -1/2]$
B) $[-1/2, 3)$
C) $(3, \infty)$
D) $[-1/2, 3]$
E) $(-\infty, -1/2)$

Çözüm:
Payın kökü $2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$. Paydanın kökü $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
İşaret tablosunda $x=3$ paydayı sıfır yaptığı için dahil değildir, $x=-1/2$ ise dahildir. Tabloda bölgeleri incelediğimizde, $[-1/2, 3)$ aralığında eşitsizlik sağlanır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 15:

Bir karenin bir kenar uzunluğu $(x+1)$ birim ve alanı 9 birimkaredir. $x$ değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8

Çözüm:
Karenin alanı kenar uzunluğunun karesidir: $(x+1)^2=9$.
Karekök alırsak $x+1=\pm 3$.
$x+1=3 \Rightarrow x=2$.
$x+1=-3 \Rightarrow x=-4$.
Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için $(x+1)>0$ olmalıdır. $x=-4$ için $x+1=-3$ olur. Bu nedenle $x=2$ tek geçerli çözümdür.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---