6. Sınıf Matematik: Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki – Devirli Ondalık Gösterim Testleri (Yeni Müfredat Maarif Modeli)

• 6. Sınıf Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki - Devirli Ondalık Gösterim Test 1 Çöz

• 6. Sınıf Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki - Devirli Ondalık Gösterim Test 2 Çöz

• 6. Sınıf Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki - Devirli Ondalık Gösterim Test 3 Çöz

• 6. Sınıf Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki - Devirli Ondalık Gösterim Test 4 Çöz

• 6. Sınıf Kesir ve Bölme İşlemi Arasındaki İlişki - Devirli Ondalık Gösterim Test 5 Çöz

Kesirler ve bölme işlemi, matematiksel olarak birbirine sıkıca bağlı iki kavramdır. Aslında her kesir, bir bölme işlemini temsil eder ve kesirlerle bölme işlemi, belirli kurallar çerçevesinde yapılır.

Kesir Nedir?

• Bir bütünün eş parçalarından birini veya birkaçını gösteren sayılara kesir denir.
• Bir kesir, pay (üstteki sayı) ve payda (alttaki sayı) olmak üzere iki ana bölümden oluşur. Payda, bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını; pay ise bu parçalardan kaçının alındığını gösterir.
• Örnek: $\frac{3}{4}$ kesri, bir bütünün 4 eş parçaya ayrılıp bu parçalardan 3’ünün alındığını ifade eder.

Kesir ve Bölme İlişkisi

• Her kesir çizgisi, aslında bir bölme işareti gibi düşünülebilir.
• $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılan bir kesir, “a bölü b” anlamına gelir ve $a \div b$ şeklinde de ifade edilebilir.
• Yani, pay her zaman paydaya bölünür.
• Örnek: $\frac{7}{2}$ kesri, $7 \div 2$ demektir ve sonucu $3.5$ veya $3 \frac{1}{2}$’dir.

Kesirlerle Bölme İşlemi Nasıl Yapılır?

Kesirlerle bölme işlemi yaparken kullanılan temel ve en önemli kural şudur: “Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir (bölen) ters çevrilir ve çarpılır.”

• Bir Tam Sayıyı Kesre Bölme:
  • Tam sayıyı $\frac{\text{tam sayı}}{1}$ şeklinde kesre çevirip kuralı uygulayın.
  • Örnek: $8 \div \frac{2}{3} = \frac{8}{1} \div \frac{2}{3} = \frac{8}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12$
• Bir Kesri Tam Sayıya Bölme:
  • Tam sayıyı $\frac{\text{tam sayı}}{1}$ şeklinde kesre çevirip kuralı uygulayın.
  • Örnek: $\frac{5}{6} \div 3 = \frac{5}{6} \div \frac{3}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18}$
• Bir Kesri Başka Bir Kesre Bölme:
  • Doğrudan kuralı uygulayın.
  • Örnek: $\frac{3}{5} \div \frac{1}{4} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{5}$

Neden Ters Çevirip Çarpıyoruz?

Bu kuralın mantığı, bölme işleminin aslında çarpma işleminin tersi olmasından gelir. Bir sayıyı bir kesre bölmek, o sayıyı o kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir. Bir kesrin çarpmaya göre tersi ise pay ile paydanın yer değiştirmesiyle bulunur (örneğin, $\frac{2}{3}$’ün tersi $\frac{3}{2}$’dir).

Kesirler ve Bölme İlişkisi Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Bir grup arkadaş, 6 eş dilime ayrılmış 2 adet pizzayı eşit şekilde paylaşmak istiyor. Her bir pizza dilimi $\frac{1}{6}$ bütün pizzayı temsil etmektedir. Eğer 4 arkadaş bu pizzaları paylaşacaksa, her bir arkadaşa kaç bütün pizza düşer? Bu durumu ifade eden matematiksel işlem ve sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $2 \div 4 = \frac{1}{2}$ bütün pizza
B) $6 \div 4 = \frac{3}{2}$ bütün pizza
C) $4 \div 2 = 2$ bütün pizza
D) $2 \times 6 \div 4 = 3$ bütün pizza
Çözüm: Toplam 2 adet pizza bulunmaktadır ve bu pizzalar 4 arkadaş arasında eşit olarak paylaştırılacaktır. Bu durum, $2$ sayısının $4$ sayısına bölünmesiyle ifade edilir. Yani, $2 \div 4$.
$2 \div 4 = \frac{2}{4}$ kesrine eşittir. Bu kesir sadeleştirildiğinde $\frac{1}{2}$ elde edilir.
Dolayısıyla, her bir arkadaşa $\frac{1}{2}$ bütün pizza düşer.
Doğru cevap A’dır.

2. soru: Ayşe, uzunluğu $5$ metre olan bir kurdeleyi, her bir parçanın uzunluğu $\frac{1}{3}$ metre olacak şekilde eş parçalara ayırmak istiyor. Ayşe’nin bu kurdeleden kaç parça elde edeceğini bulmak için hangi matematiksel işlemi yapması gerekir ve sonuç kaç olur?
A) $5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ parça
B) $5 \div \frac{1}{3} = 15$ parça
C) $\frac{1}{3} \div 5 = \frac{1}{15}$ parça
D) $5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ parça
Çözüm: Ayşe’nin toplam $5$ metre kurdelesi var ve her bir parça $\frac{1}{3}$ metre uzunluğunda olacak. Kaç parça elde edeceğini bulmak için toplam uzunluğu bir parçanın uzunluğuna bölmemiz gerekir. Bu işlem $5 \div \frac{1}{3}$ şeklinde yazılır.
Bir sayıyı bir kesre bölmek için, bölen kesrin tersiyle çarparız. Yani, $5 \div \frac{1}{3} = 5 \times \frac{3}{1} = 5 \times 3 = 15$.
Ayşe bu kurdeleden $15$ parça elde eder.
Doğru cevap B’dir.

3. soru: Bir çiftçi, tarlasının $\frac{3}{4}$’ünü domates ekmek için ayırmıştır. Domates ekeceği bu alanı da her biri eşit büyüklükte olacak şekilde $3$ parsele ayırmak istiyor. Her bir parsel tarlanın kaçta kaçı kadar olur? Bu durumu en iyi ifade eden kesir işlemi ve sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4}$
B) $\frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$
C) $\frac{3}{4} \div 3 = \frac{1}{4}$
D) $3 \div \frac{3}{4} = 4$
Çözüm: Çiftçi tarlasının $\frac{3}{4}$’ünü domates için ayırmış ve bu alanı $3$ eşit parsele bölmek istiyor. Bu durum, bir kesrin bir tam sayıya bölünmesi işlemidir: $\frac{3}{4} \div 3$.
Bir kesri bir tam sayıya bölmek için, kesrin paydasını tam sayı ile çarparız (veya tam sayının paydasını $1$ kabul edip ters çevirip çarparız).
$\frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$.
Bu kesir sadeleştirildiğinde $\frac{1}{4}$ elde edilir.
Yani, her bir parsel tarlanın $\frac{1}{4}$’ü kadar olur.
Doğru cevap C’dir.

4. soru: Elif, bir haftalık harçlığının $\frac{2}{5}$’ini kitap almak için ayırmıştır. Kitap için ayırdığı bu paranın $\frac{1}{2}$’sini kullanarak bir defter almıştır. Elif’in defter için harcadığı para, başlangıçtaki haftalık harçlığının kaçta kaçıdır? Bu durumu gösteren işlem ve sonucu nedir?
A) $\frac{2}{5} \div \frac{1}{2} = \frac{4}{5}$
B) $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$
C) $\frac{1}{2} \div \frac{2}{5} = \frac{5}{4}$
D) $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{9}{10}$
Çözüm: Elif harçlığının $\frac{2}{5}$’ini kitap için ayırmış. Defter için ise bu ayırdığı paranın $\frac{1}{2}$’sini kullanmıştır. Bir miktarın kesir kadarını bulmak için çarpma işlemi yapılır.
Yani, $\frac{2}{5}$’in $\frac{1}{2}$’sini bulmak için $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}$ işlemini yaparız.
$\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$.
Bu kesir sadeleştirildiğinde $\frac{1}{5}$ elde edilir.
Defter için harcadığı para, başlangıçtaki haftalık harçlığının $\frac{1}{5}$’idir.
Doğru cevap B’dir.

5. soru: Bir marangoz, uzunluğu $3 \frac{1}{2}$ metre olan bir tahta parçasını, her biri $\frac{7}{8}$ metre uzunluğunda olacak şekilde eş parçalara ayırmak istiyor. Marangoz bu tahta parçasından kaç adet eş parça elde eder? (Not: $3 \frac{1}{2}$ kesrini bileşik kesre çevirerek işlem yapınız.)
A) $3 \frac{1}{2} \div \frac{7}{8} = 4$ parça
B) $3 \frac{1}{2} \times \frac{7}{8} = \frac{49}{16}$ parça
C) $\frac{7}{8} \div 3 \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ parça
D) $3 \frac{1}{2} – \frac{7}{8} = \frac{21}{8}$ parça
Çözüm: Öncelikle $3 \frac{1}{2}$ tam sayılı kesrini bileşik kesre çevirelim: $3 \frac{1}{2} = \frac{(3 \times 2) + 1}{2} = \frac{6+1}{2} = \frac{7}{2}$ metre.
Marangozun toplam $\frac{7}{2}$ metre tahtası var ve her bir parça $\frac{7}{8}$ metre uzunluğunda olacak. Kaç parça elde edeceğini bulmak için toplam uzunluğu bir parçanın uzunluğuna bölmemiz gerekir: $\frac{7}{2} \div \frac{7}{8}$.
Bir kesri başka bir kesre bölmek için, ilk kesri ikinci kesrin çarpmaya göre tersiyle çarparız.
$\frac{7}{2} \div \frac{7}{8} = \frac{7}{2} \times \frac{8}{7}$.
Çarpma işlemini yaparken sadeleştirmeleri kullanabiliriz:
$\frac{\cancel{7}}{2} \times \frac{8}{\cancel{7}} = \frac{8}{2} = 4$.
Marangoz $4$ adet eş parça elde eder.
Doğru cevap A’dır.

6. soru: Bir fırıncı, $10$ kilogramlık unun tamamını kullanarak her biri $\frac{2}{3}$ kilogram ağırlığında ekmekler yapacaktır. Fırıncının kaç adet ekmek yapabileceğini gösteren doğru matematiksel ifade ve sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $10 \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ adet ekmek
B) $10 \div \frac{2}{3} = 15$ adet ekmek
C) $\frac{2}{3} \div 10 = \frac{1}{15}$ adet ekmek
D) $10 – \frac{2}{3} = \frac{28}{3}$ adet ekmek
Çözüm: Fırıncının toplam $10$ kilogram unu var ve her bir ekmek için $\frac{2}{3}$ kilogram un kullanıyor. Kaç adet ekmek yapabileceğini bulmak için toplam un miktarını bir ekmek için kullanılan un miktarına bölmemiz gerekir. Bu işlem $10 \div \frac{2}{3}$ şeklinde yazılır.
Bir sayıyı bir kesre bölmek için, bölen kesrin tersiyle çarparız.
$10 \div \frac{2}{3} = 10 \times \frac{3}{2} = \frac{10 \times 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
Fırıncı $15$ adet ekmek yapabilir.
Doğru cevap B’dir.

7. soru: Bir su deposunun $\frac{5}{6}$’sı doludur. Depodaki suyun $\frac{3}{5}$’i kullanıldığında, deponun kaçta kaçı boş kalır? (Önce kullanılan su miktarını, sonra kalan su miktarını ve en son boş kalan kısmı hesaplayınız.)
A) $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$’si kullanıldı, kalan $\frac{1}{2}$, boş $\frac{1}{2}$.
B) $\frac{5}{6} \div \frac{3}{5} = \frac{25}{18}$’i kullanıldı, bu yanlış bir ifade.
C) $\frac{5}{6} – (\frac{5}{6} \times \frac{3}{5}) = \frac{1}{3}$’ü kaldı, boş $\frac{2}{3}$.
D) $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$’si kullanıldı, kalan $\frac{5}{6} – \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$, boş $1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Çözüm: Öncelikle depodaki suyun ne kadarının kullanıldığını bulalım. Deponun $\frac{5}{6}$’sı dolu ve bu suyun $\frac{3}{5}$’i kullanılıyor. Bu, $\frac{5}{6}$’nın $\frac{3}{5}$’ini bulmak demektir, yani çarpma işlemi yapılır:
Kullanılan su miktarı: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{\cancel{5}}{6} \times \frac{3}{\cancel{5}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Depodaki suyun $\frac{1}{2}$’si kullanılmıştır.
Başlangıçta deponun $\frac{5}{6}$’sı doluydu. Kullanılan miktarı çıkararak kalan dolu kısmı bulalım:
Kalan dolu kısım: $\frac{5}{6} – \frac{1}{2}$. Paydaları eşitleyelim: $\frac{5}{6} – \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Deponun $\frac{1}{3}$’ü dolu kalmıştır.
Deponun tamamı $1$ birimdir. Boş kalan kısmı bulmak için tamamından dolu kısmı çıkarırız:
Boş kalan kısım: $1 – \frac{1}{3} = \frac{3}{3} – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Deponun $\frac{2}{3}$’ü boş kalır.
Doğru cevap D’dir.