Rasyonel fonksiyonlar, bir polinomun başka bir polinoma oranı olarak ifade edilen $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklindeki fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların en önemli nitel özelliklerinden biri, paydanın sıfır olamayacağı kuralıdır. Bu kural, fonksiyonun tanım kümesini belirler ve düşey asimptotların veya grafik üzerindeki boşlukların (deliklerin) oluşmasına neden olur. Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu ve pay ile paydanın ortak kökü olmadığı noktalarda meydana gelir. Yatay asimptotlar ise pay ve payda polinomlarının dereceleri arasındaki ilişkiye göre belirlenir. Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğunda eğik (eğri) asimptotlar ortaya çıkar. Bu özellikler, bir rasyonel fonksiyonun grafiğini çizebilmek ve davranışını analiz edebilmek için temel bilgiler sunar.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

$f(x) = \frac{x+2}{x-3}$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R} – \{2\}$
B) $\mathbb{R} – \{-2\}$
C) $\mathbb{R} – \{3\}$
D) $\mathbb{R} – \{-3\}$
E) $\mathbb{R}$

Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun paydası sıfır olamaz. Bu nedenle $x-3 \neq 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözersek $x \neq 3$ elde ederiz. Tanım kümesi, 3 hariç tüm reel sayılardır.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

$f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R} – \{2\}$
B) $\mathbb{R} – \{-2, 2\}$
C) $\mathbb{R} – \{1\}$
D) $\mathbb{R} – \{-4, 4\}$
E) $\mathbb{R}$

Çözüm:
Payda sıfır olamaz: $x^2-4 \neq 0$. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak $(x-2)(x+2) \neq 0$ olur. Bu da $x \neq 2$ ve $x \neq -2$ demektir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 3:

$f(x) = \frac{5}{x^2+1}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R} – \{1\}$
B) $\mathbb{R} – \{-1, 1\}$
C) $\mathbb{R} – \{-1\}$
D) $\mathbb{R} – \{0\}$
E) $\mathbb{R}$

Çözüm:
Payda sıfır olamaz: $x^2+1 \neq 0$. Gerçek sayılar kümesinde $x^2 \geq 0$ olduğu için $x^2+1$ ifadesi her zaman 1 veya daha büyük bir değer alır. Dolayısıyla payda hiçbir zaman sıfır olamaz ve fonksiyon tüm reel sayılar için tanımlıdır.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 4:

$f(x) = \frac{x+3}{x-4}$ fonksiyonunun düşey (dikey) asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x=3$
B) $x=-3$
C) $x=4$
D) $x=-4$
E) $y=1$

Çözüm:
Düşey asimptotlar, paydanın sıfır olduğu ve pay ile paydada ortak kök bulunmayan noktalarda oluşur. Payda $x-4=0$ olduğunda $x=4$ olur. Payda ve payda ortak kök yoktur.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 5:

$f(x) = \frac{x^2+5x+6}{x+2}$ fonksiyonunun grafiğinde hangi x noktasında bir boşluk (delik) vardır?

A) $x=-3$
B) $x=-2$
C) $x=2$
D) $x=-1$
E) Hiçbiri

Çözüm:
Bir boşluk, hem payı hem de paydayı sıfır yapan bir x değeri olduğunda oluşur. Payı çarpanlarına ayıralım: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$.
$f(x) = \frac{(x+2)(x+3)}{x+2} = x+3$.
$x+2$ çarpanı sadeleşir, bu da $x=-2$ noktasında bir boşluk olduğunu gösterir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 6:

$f(x) = \frac{3x+1}{x-5}$ fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=1$
B) $y=3$
C) $x=5$
D) $x=3$
E) Yatay asimptot yoktur

Çözüm:
Yatay asimptotları bulmak için pay ve payda polinomlarının derecelerini karşılaştırırız. Her iki polinomun derecesi de 1’dir. Dereceler eşit olduğunda, yatay asimptot katsayıların oranına eşittir.
$y = \frac{3}{1} = 3$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 7:

$f(x) = \frac{x+4}{x^2+9}$ fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=1$
B) $y=4$
C) $y=0$
D) $x=0$
E) Yatay asimptot yoktur

Çözüm:
Payın derecesi (1) paydanın derecesinden (2) küçük olduğu için yatay asimptot $y=0$ doğrusudur.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 8:

$f(x) = \frac{x^3+x-1}{x^2+2}$ fonksiyonunun eğik (eğri) asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=x$
B) $y=-x$
C) $y=x+1$
D) $y=x-1$
E) Yatay asimptot yoktur

Çözüm:
Payın derecesi (3), paydanın derecesinden (2) bir fazla olduğu için eğik asimptot vardır. Payı paydaya bölerek asimptot denklemini buluruz.
$(x^3+x-1) \div (x^2+2)$ bölümü $x$’tir.
Eğik asimptotun denklemi $y=x$ olur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

$f(x) = \frac{2x^2+1}{x+1}$ fonksiyonunun eğik (eğri) asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=2x-2$
B) $y=2x+2$
C) $y=x-1$
D) $y=2x$
E) Yatay asimptot yoktur

Çözüm:
Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla. Bölme işlemi yapalım:
$2x^2+1 = 2x(x+1) -2x+1 = 2x(x+1)-2(x+1)+2+1 = (x+1)(2x-2)+3$
$\frac{2x^2+1}{x+1} = (2x-2) + \frac{3}{x+1}$.
Bölüm $2x-2$ olduğu için eğik asimptot $y=2x-2$’dir.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 10:

$f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) $\frac{2}{3}$
B) $-\frac{2}{3}$
C) 1
D) -2
E) -3

Çözüm:
y eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ koyarız.
$f(0) = \frac{0-2}{0+3} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 11:

$f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$ fonksiyonunun düşey asimptot sayısı kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Asimptot yoktur

Çözüm:
Fonksiyonun payını çarpanlarına ayıralım: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$.
$f(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$.
$x-4$ çarpanı sadeleşir, bu yüzden $x=4$ noktasında bir boşluk (delik) oluşur, düşey asimptot oluşmaz. Bu fonksiyonun düşey asimptotu yoktur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 12:

$f(x) = \frac{x+5}{x-1}$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

A) 5
B) -5
C) 1
D) -1
E) 0

Çözüm:
x eksenini kestiği noktayı bulmak için $f(x)=0$ denklemini çözeriz. Bir rasyonel fonksiyonun değeri ancak payı sıfır olduğunda sıfır olabilir.
$x+5 = 0 \Rightarrow x=-5$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 13:

$f(x) = \frac{2x+3}{4x-8}$ fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y=0$
B) $y=1$
C) $y=\frac{1}{2}$
D) $y=2$
E) $y=-2$

Çözüm:
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğu için yatay asimptot, baş katsayıların oranına eşittir.
$y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 14:

$f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ fonksiyonunun düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x=0$
B) $x=1$
C) $y=0$
D) $y=x$
E) Asimptot yoktur

Çözüm:
Payda $x=0$ olduğunda sıfır olur. Pay ise $x=0$ için 1 değerini alır. Ortak kök olmadığı için $x=0$ bir düşey asimptottur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 15:

$f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ fonksiyonunun düşey asimptotu $x=-2$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) -2

Çözüm:
Düşey asimptot, paydayı sıfır yapan noktada oluşur. Asimptotun $x=-2$ olduğu verildiği için payda $x=-2$ iken sıfır olmalıdır.
$x+a=0 \Rightarrow -2+a=0 \Rightarrow a=2$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---