Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özellikleri, bir fonksiyonun grafiğinin nasıl davrandığını ve belirli noktalarda veya aralıklarda aldığı değerleri anlamamıza yardımcı olan temel kavramlardır. Bu özellikler arasında, fonksiyonun belirli bir aralıkta artan veya azalan olması, yani $x$ değerleri büyüdükçe $y$ değerlerinin de artması veya azalması durumu bulunur. Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerleri olan maksimum ve minimum noktaları da önemli nitel özelliklerdir. Ayrıca, bir fonksiyonun tek ya da çift fonksiyon olup olmadığını belirlemek, grafiğinin simetri özelliklerini (orijine veya y eksenine göre) anlamamızı sağlar. Bu kavramlar, bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek, davranışını tahmin edebilmek ve gerçek dünya problemlerini çözebilmek için kritik öneme sahiptir.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima azalandır?

A) $f(x) = 2x+1$
B) $f(x) = x^2$
C) $f(x) = -3x+5$
D) $f(x) = x^3$
E) $f(x) = |x|$

Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyon olan $f(x) = mx+c$ kuralında eğim ($m$) negatif ise fonksiyon daima azalandır. C şıkkındaki $f(x)=-3x+5$ fonksiyonunun eğimi $-3$ olduğu için daima azalandır.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?

A) $f(x) = x^3+x$
B) $f(x) = x^2-5$
C) $f(x) = \sin(x)$
D) $f(x) = x+1$
E) $f(x) = \tan(x)$

Çözüm:
Bir fonksiyonun çift olması için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. B şıkkındaki $f(x)=x^2-5$ fonksiyonu için:
$f(-x) = (-x)^2 – 5 = x^2 – 5 = f(x)$
Bu eşitlik sağlandığı için fonksiyon çifttir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 3:

$f(x) = x^2-4x+7$ fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Parabol şeklindeki bir ikinci derece fonksiyonun en küçük değeri, tepe noktasının y koordinatıdır. Tepe noktasının x koordinatı $r = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Burada $a=1, b=-4$.
$r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
Bu değeri fonksiyonda yerine koyarak en küçük y değerini buluruz:
$f(2) = (2)^2 – 4(2) + 7 = 4 – 8 + 7 = 3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 4:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?

A) $f(x) = x^2+1$
B) $f(x) = x^3+x$
C) $f(x) = \cos(x)$
D) $f(x) = x^4-2x^2$
E) $f(x) = |x|$

Çözüm:
Bir fonksiyonun tek olması için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. B şıkkındaki $f(x)=x^3+x$ fonksiyonu için:
$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 – x = -(x^3+x) = -f(x)$
Bu eşitlik sağlandığı için fonksiyon tektir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 5:

Bir fonksiyonun artan olduğu bir aralıkta, $x_1 < x_2$ ise $f(x_1)$ ile $f(x_2)$ arasındaki ilişki nasıldır?

A) $f(x_1) > f(x_2)$
B) $f(x_1) = f(x_2)$
C) $f(x_1) < f(x_2)$
D) $f(x_1) \geq f(x_2)$
E) $f(x_1) \leq f(x_2)$

Çözüm:
Tanım gereği, bir fonksiyon artan ise, $x$ değerleri arttıkça $y$ değerleri de artar. Bu nedenle $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) < f(x_2)$ olmalıdır.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 6:

$f(x) = -x^2+6x-2$ fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Çözüm:
$a<0$ olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve fonksiyonun bir tepe noktası vardır. Bu nokta maksimum değeri verir.
$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$.
$f(3) = -(3)^2 + 6(3) – 2 = -9 + 18 – 2 = 7$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 7:

$f(x) = |x-3|$ fonksiyonunun azalan olduğu aralık hangisidir?

A) $(-\infty, 3]$
B) $[3, \infty)$
C) $(0, 3)$
D) $(-\infty, 0)$
E) $(3, \infty)$

Çözüm:
$f(x)=|x-3|$ fonksiyonunun grafiği, tepe noktası $(3, 0)$ olan bir V şeklindedir. Fonksiyon, bu tepe noktasına kadar azalan, sonrasında artan bir yapıya sahiptir.
Fonksiyonun azalan olduğu aralık $(-\infty, 3]$ aralığıdır.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 8:

$f(x) = x^2$ fonksiyonu hangi aralıkta artandır?

A) $(-\infty, 0)$
B) $[0, \infty)$
C) $(-\infty, 0]$
D) $(-1, 1)$
E) $(-\infty, \infty)$

Çözüm:
$f(x) = x^2$ fonksiyonunun grafiği, tepe noktası orijin $(0, 0)$ olan bir paraboldür. $x>0$ için $x$ büyüdükçe $x^2$ de büyür. Fonksiyon $[0, \infty)$ aralığında artandır.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 9:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ne tek ne de çift fonksiyondur?

A) $f(x)=x^3-x$
B) $f(x)=x^2+x$
C) $f(x)=2$
D) $f(x)=\cos(x)$
E) $f(x)=x^2-1$

Çözüm:
Tek ve çift fonksiyon özelliklerini inceleyelim.
A) $f(-x)=-f(x)$ olduğundan tek fonksiyondur.
C) $f(-x)=2=f(x)$ olduğundan çift fonksiyondur.
D) $\cos(-x)=\cos(x)$ olduğundan çift fonksiyondur.
E) $f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)$ olduğundan çift fonksiyondur.
B) $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x$. Bu ne $f(x)$’e ne de $-f(x)$’e eşittir. Dolayısıyla ne tek ne de çift fonksiyondur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 10:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği y eksenine göre simetriktir?

A) $f(x)=x^3-1$
B) $f(x)=\sin(x)$
C) $f(x)=x^4+x^2$
D) $f(x)=x^5$
E) $f(x)=3x$

Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetrik olması için fonksiyonun çift fonksiyon olması gerekir. $f(-x)=f(x)$ olmalıdır.
C şıkkındaki $f(x)=x^4+x^2$ fonksiyonu için $f(-x)=(-x)^4+(-x)^2=x^4+x^2=f(x)$ olduğundan çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 11:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği orijine göre simetriktir?

A) $f(x)=x^2-1$
B) $f(x)=|x|$
C) $f(x)=x^3+1$
D) $f(x)=x^5+x$
E) $f(x)=x^4$

Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması için fonksiyonun tek fonksiyon olması gerekir. $f(-x)=-f(x)$ olmalıdır.
D şıkkındaki $f(x)=x^5+x$ fonksiyonu için $f(-x)=(-x)^5+(-x)=-x^5-x=-(x^5+x)=-f(x)$ olduğundan tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 12:

Bir fonksiyonun minimum değeri 4 olduğuna göre, bu fonksiyonun alabileceği en küçük değer 4’tür. Bu doğru mudur?

A) Evet
B) Hayır

Çözüm:
Minimum değer, fonksiyonun tanım kümesinde alabileceği en küçük değerdir. Fonksiyon bu değere ulaşabilir. Tanıma göre doğrudur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 13:

Parçalı bir fonksiyon olan $f(x) = \begin{cases} x+2, & x < 1 \\ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$ için $f(3)$ değeri kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9

Çözüm:
$x=3$ değeri, ikinci koşul olan $x \geq 1$ aralığına girmektedir. Dolayısıyla, $f(x)$’in ikinci kuralı olan $x^2$ kullanılır.
$f(3) = 3^2 = 9$
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 14:

$f(x) = 2x-5$ fonksiyonu, $(-\infty, \infty)$ aralığında hangi niteliksel özelliğe sahiptir?

A) Azalan
B) Sabit
C) Artan
D) Tek
E) Çift

Çözüm:
$f(x) = 2x-5$ bir doğrusal fonksiyondur. Eğim $m=2$ pozitif bir sayıdır. Bir doğrusal fonksiyonun eğimi pozitifse fonksiyon daima artandır.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 15:

Bir fonksiyonun $x \in (-1, 2)$ aralığında sürekli ve azalan olduğu biliniyor. Bu aralıkta fonksiyonun alabileceği en küçük değer nedir?

A) $f(0)$
B) $f(1)$
C) $f(2)$
D) $f(-1)$
E) Verilemez

Çözüm:
Fonksiyon azalan olduğu için $x$ değeri arttıkça fonksiyonun değeri azalır. Bu nedenle, aralığın sağ ucundaki değere yaklaştıkça fonksiyonun değeri en küçüğe yaklaşır. Ancak aralık $(-1, 2)$ açık aralık olduğu için $x=2$ değeri fonksiyonun tanım kümesine dahil değildir. Dolayısıyla, fonksiyonun bu aralıkta bir en küçük değeri yoktur.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---