Matematikte, iki paralel doğruyu kesen iki ayrı kesen doğru, çeşitli açılar ve geometrik şekiller oluşturur. Bu tür problemlerde, temel açı kurallarını (yöndeş, iç ters, dış ters, karşı durumlu) birden fazla kez uygulamak gerekir. Genellikle bu tip sorularda “M kuralı” veya “Z kuralı” gibi pratik kurallar da kullanılır. M kuralı, iki paralel doğru arasında kalan ve “M” harfi şeklini oluşturan açılarla ilgilidir; kurala göre, “M”nin dış kısmındaki iki açının toplamı, iç kısımdaki açının ölçüsüne eşittir. Bu kuralların doğru bir şekilde uygulanması, karmaşık görünen geometrik problemleri daha kolay çözmeye yardımcı olur.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve $k$ ile $m$ doğruları kesendir. Verilenlere göre $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel, $k$ ve $m$ doğruları d1​ ve d2​ yi kesiyor. d1​ ve $k$ arasındaki açı 70∘, d1​ ve $m$ arasındaki açı 50∘. d2​ ve $k$ arasındaki açı 110∘, d2​ ve $m$ arasındaki açı $\angle x$‘tir. Bu açılar ‘M’ harfi şeklinde dizilmiştir.)

A) 60∘ B) 50∘ C) 70∘ D) 120∘

Çözüm: Şekilde “M kuralı” uygulanabilir. 70∘ açısının iç tersi olan açı, d2​ üzerinde 70∘ olacaktır. Aynı şekilde, 50∘ açısının iç tersi olan açı da d2​ üzerinde 50∘ olacaktır. Dolayısıyla, $\angle x$ açısı, 50∘ açısının iç tersi olduğu için 50∘ olur. Doğru Cevap: B

2. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel ve bir doğru ile kesiliyor. Sağ tarafta bir üçgen oluşuyor. d1​ ve kesen arasındaki açı 60∘ ve üçgenin tepesi $x$ ile gösteriliyor. Üçgenin tabanındaki d2​ ile kesen arasındaki açı 80∘‘dir.)

A) 40∘ B) 60∘ C) 80∘ D) 100∘

Çözüm: 60∘ ‘lik açının iç tersi de 60∘ ‘dir. Bu açı, üçgenin iç açılarından birini oluşturur. 80∘ ‘lik açının ters açısı da 80∘ ‘dir. Bu açı da üçgenin iç açılarından biridir. Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘ ‘dir. O halde x=180−(60+80)=180−140=40∘ ‘dir. Doğru Cevap: A

3. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=120∘, ∠b=150∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel, bir V harfi şeklinde kesen doğrular var. Sol taraftaki d1​ ile kesen arasındaki açı a=120∘. Sağ taraftaki d2​ ile kesen arasındaki açı b=150∘. V harfinin ortasındaki açının dışı $\angle x$ ile gösteriliyor.)

A) 30∘ B) 60∘ C) 90∘ D) 120∘

Çözüm: ∠a=120∘ ‘nin bütünleri 180−120=60∘ ‘dir. ∠b=150∘ ‘nin bütünleri 180−150=30∘ ‘dir. Bu iki açı, $x$ açısının olduğu üçgenin iç açılarıdır. Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘ ‘dir. 60+30=90∘ ‘dir. Bu üçgenin üçüncü açısı 180−90=90∘ ‘dir. Bu açıyla $x$ açısı bütünlerdir. Yani $x+90=180$ ve x=90∘ ‘dir. Doğru Cevap: C

4. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=70∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel, bir Z harfi şeklinde kesen doğrular var. Sol üstte d1​ ile kesen arasındaki açı a=70∘. Sağ altta d2​ ile kesen arasındaki açı $\angle x$‘tir.)

A) 70∘ B) 110∘ C) 180∘ D) 90∘

Çözüm: $\angle a$ ve $\angle x$ iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu nedenle ∠x=∠a=70∘ ‘dir. Bu kural aynı zamanda “Z kuralı” olarak da bilinir. Doğru Cevap: A

5. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=45∘, ∠b=35∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel ve iki kesen doğru var. Paralel doğrular arasında bir kırılma noktası mevcut. d1​ ve sol kesen arasındaki açı a=45∘, d2​ ve sağ kesen arasındaki açı b=35∘. Kırılma noktasındaki açı $\angle x$‘tir.)

A) 10∘ B) 80∘ C) 90∘ D) 180∘

Çözüm: Şekilde “M kuralı” uygulanır. Kurala göre, paralel doğrular arasındaki iç kısımda, bir tarafa bakan açıların toplamı diğer tarafa bakan açıların toplamına eşittir. ∠x=∠a+∠b=45∘+35∘=80∘ ‘dir. Doğru Cevap: B

6. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=60∘, ∠b=130∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel. d1​ ve soldan kesen arasındaki açı a=60∘. d2​ ve sağdan kesen arasındaki açı b=130∘. Kırılma noktasındaki dış açı $\angle x$‘tir.)

A) 190∘ B) 110∘ C) 50∘ D) 180∘

Çözüm: Kırılma noktasından geçen, d1​ ve d2​ ‘ye paralel bir üçüncü doğru çizdiğimizde iki ayrı “Z” kuralı oluşur. ∠a=60∘ ‘nin iç tersi 60∘ ‘dir. ∠b=130∘ ‘nin bütünleri 50∘ ‘dir. Bu açının iç tersi de 50∘ ‘dir. Üçgenin iç açılarının toplamı $180$‘dir. x=180−(60+50)=180−110=70∘ ‘dir. Doğru Cevap: D Bu sorunun cevabında bir hata bulunmaktadır. Soruyu doğru yorumlayarak cevabı 70 bulduk ancak şıklarda bulunmamaktadır.

7. d1​//d2​ ve ∠a=50∘, ∠b=100∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel. İki kesen doğru var. Soldaki kesenin d1​ ile yaptığı açı a=50∘. Sağdaki kesenin d2​ ile yaptığı açı b=100∘. İki kesenin arasında kalan açı $x$‘tir.)

A) 50∘ B) 60∘ C) 100∘ D) 150∘

Çözüm: Şekildeki açılarla bir üçgen oluşturabiliriz. 50∘ ‘lik açının bütünleri 180−50=130∘ ‘dir. 100∘ ‘lik açının bütünleri 180−100=80∘ ‘dir. Bu iki açı ve $x$ açısı, üçgenin iç açılarıdır. $x=180-(130+80)=180-210=-30$. Bu çözüm yolu yanlıştır. Doğru çözüm yolu şöyledir: 50∘ ‘lik açının iç tersi 50∘ ‘dir. 100∘ ‘lik açının bütünleri 80∘ ‘dir. Oluşan üçgende $50$ ve $80$ derecelik açılar vardır. $x$ açısı ise bu üçgenin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu durumda, x=50+80=130∘‘dir. Ancak şıklarda yok. Alternatif olarak, M kuralı da uygulanabilir. d1​ ve d2​ arasına $x$ açısından geçen yeni bir paralel doğru çizersek, 50∘‘lik açının iç tersi olan 50∘ ve 100∘‘nin bütünleri olan 80∘‘nin iç tersi olan 80∘ olacaktır. Bu iki açının toplamı $x$ açısına eşit olmalıdır. $50+80=130$.

Doğru Cevap: Soruda hata var, şıklar doğru çözümü içermiyor.

8. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel. Sol üstteki açı 100∘, sağ üstteki açı 40∘, sol alttaki açı 140∘, sağ alttaki açı $\angle x$. Bu açılar birbirini takip etmektedir.)

A) 80∘ B) 60∘ C) 40∘ D) 120∘

Çözüm: Paralel doğrular arasında “Zikzak kuralı” uygulanır. Sola bakan açıların toplamı, sağa bakan açıların toplamına eşittir. Sola bakan açılar: 100∘ ve 140∘ Sağa bakan açılar: 40∘ ve $\angle x$ 100∘+140∘=40∘+∠x 240∘=40∘+∠x ∠x=240∘−40∘=200∘. Şıklarda bu cevap yok. Soruda bir şekil hatası olduğu anlaşılıyor. Sola bakan açının 100∘, sağa bakanın 40∘ olduğu ve sol alttaki açının 140∘ olduğu kabul edilirse $100+140=40+x⟹240=40+x⟹x=200$. Farklı bir yorumla, 100∘ nin ters açısı 100∘, 140∘ nin bütünleri 40∘ ‘dir. $\angle x$ ile bir üçgen oluşturulursa $x+100+40=180⟹x=40$ olabilir. Doğru Cevap: A (Soruda bir hata bulunmaktadır)

9. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=50∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel, iki kesen var ve Z harfi oluşuyor. Soldaki kesen ile d1​ arasındaki açı 50∘, sağdaki kesen ile d2​ arasındaki açı $x$‘tir.)

A) 130∘ B) 50∘ C) 40∘ D) 180∘

Çözüm: $\angle a$ ve $\angle x$ iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Dolayısıyla ∠x=50∘ ‘dir. Doğru Cevap: B

10. Aşağıdaki şekilde d1​//d2​ ve ∠a=110∘ ise $\angle x$ kaç derecedir? (Şekilde d1​ ve d2​ paralel, iki kesenle bir üçgen oluşuyor. d1​ ve kesen arasındaki açı 110∘, d2​ ve diğer kesen arasındaki açı $x$, kesenlerin arasındaki açı 40∘‘dir.)

A) 30∘ B) 70∘ C) 110∘ D) 150∘

Çözüm: 110∘ ‘lik açının bütünleri 70∘ ‘dir. Bu açı üçgenin iç açılarından biridir. Üçgenin diğer bir iç açısı 40∘ ‘dir. Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘ ‘dir. 70+40=110∘ ‘dir. Üçgenin üçüncü iç açısı 180−110=70∘ ‘dir. Bu açı $x$ açısıyla bütünlerdir. x=180−70=110∘ ‘dir. Doğru Cevap: C