Bayes Teoremi, bir olayın gerçekleşme olasılığını, o olayla ilgili yeni bir kanıtın veya bilginin ışığında güncellememizi sağlayan temel bir olasılık kuralıdır. Teorem, **önsel olasılık** (bir olayla ilgili elimizdeki başlangıç olasılığı), **olabilirlik** (kanıtın, olayın gerçekleşmesi durumunda ne kadar olası olduğu) ve **marjinal olasılık** (kanıtın kendi başına gerçekleşme olasılığı) kavramlarını kullanarak, **sonsal olasılığı** (kanıtın ışığında güncellenmiş olasılık) hesaplar. En yaygın kullanımlarından biri, tıbbi teşhis testlerinin güvenilirliğini değerlendirmektir. Örneğin, bir testin yüksek oranda doğru sonuç verdiğini bilsek bile, bir kişinin testinin pozitif çıkması durumunda gerçekten hasta olma olasılığı, hastalığın genel yaygınlığına (önsel olasılık) bağlı olarak değişebilir. Bayes Teoremi, bu karmaşık ilişkileri sayısal olarak ifade etmemizi sağlayarak rasyonel karar verme süreçlerine bilimsel bir zemin hazırlar.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

Bir şehirde çalışan insanların %3’ü yöneticidir. Yöneticilerin %80’i, yönetici olmayanların ise %5’i araba kullanmaktadır. Şehirden rastgele seçilen birinin araba kullandığı bilindiğine göre, bu kişinin yönetici olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.80 \times 0.03}{0.80 \times 0.03 + 0.05 \times 0.97}$
B) $\frac{0.05 \times 0.97}{0.80 \times 0.03 + 0.05 \times 0.97}$
C) $0.80$
D) $0.03$
E) $\frac{0.80 \times 0.03}{0.05 \times 0.97}$

Çözüm:
Bayes Teoremini uygulayalım.
A = Kişinin yönetici olması, P(A) = 0.03. A’ = Kişinin yönetici olmaması, P(A’) = 0.97.
B = Kişinin araba kullanması.
P(B|A) = Kişi yöneticidir, araba kullanma olasılığı = 0.80.
P(B|A’) = Kişi yönetici değildir, araba kullanma olasılığı = 0.05.
İstenen: P(A|B) = $\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
Payda (P(B)), tüm olasılıklar kuralı ile bulunur: $P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A’)P(A’) = (0.80)(0.03) + (0.05)(0.97)$.
$P(A|B) = \frac{0.80 \times 0.03}{0.80 \times 0.03 + 0.05 \times 0.97}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 2:

Bir hastalığın toplumdaki yaygınlığı %1’dir. Bu hastalığı tespit etmek için yapılan bir test, hastaların %98’inde pozitif, sağlıklı bireylerin ise %5’inde yanlış pozitif sonuç vermektedir. Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.98 \times 0.01}{0.98 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99}$
B) $\frac{0.98 \times 0.01}{0.05 \times 0.99}$
C) $0.98$
D) $0.01$
E) $\frac{0.05 \times 0.99}{0.98 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99}$

Çözüm:
A = Hastalığı olmak, P(A) = 0.01. A’ = Sağlıklı olmak, P(A’) = 0.99.
B = Testin pozitif çıkması.
P(B|A) = Hasta iken testin pozitif çıkması = 0.98.
P(B|A’) = Sağlıklı iken testin pozitif çıkması (yanlış pozitif) = 0.05.
İstenen: P(A|B) = $\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A’)P(A’) = (0.98)(0.01) + (0.05)(0.99)$.
$P(A|B) = \frac{0.98 \times 0.01}{0.98 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 3:

Bir fabrikada A ve B olmak üzere iki makine bulunmaktadır. Toplam üretimin %60’ını A makinesi, %40’ını B makinesi yapmaktadır. A makinesinin ürettiği ürünlerin %2’si, B makinesinin ürettiği ürünlerin ise %5’i kusurludur. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olduğu bilindiğine göre, bu ürünün A makinesinde üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.02}{0.02+0.05}$
B) $\frac{0.05 \times 0.40}{0.02 \times 0.60 + 0.05 \times 0.40}$
C) $\frac{0.02 \times 0.60}{0.02 \times 0.60 + 0.05 \times 0.40}$
D) $\frac{0.60}{0.60+0.40}$
E) $\frac{0.40}{0.60+0.40}$

Çözüm:
A = Ürünün A makinesinden gelmesi, P(A) = 0.60.
B = Ürünün B makinesinden gelmesi, P(B) = 0.40.
D = Ürünün kusurlu olması.
P(D|A) = A makinesinden gelen ürünün kusurlu olma olasılığı = 0.02.
P(D|B) = B makinesinden gelen ürünün kusurlu olma olasılığı = 0.05.
İstenen: P(A|D) = $\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$
$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = (0.02)(0.60) + (0.05)(0.40)$.
$P(A|D) = \frac{0.02 \times 0.60}{0.02 \times 0.60 + 0.05 \times 0.40}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 4:

Bir kişi evden işe gitmek için araba (%70) veya toplu taşıma (%30) kullanmaktadır. Eğer araba kullanırsa trafik olasılığı %40, toplu taşıma kullanırsa trafik olasılığı %60’tır. Bir gün trafikte kaldığı bilindiğine göre, o gün araba kullanma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.40 \times 0.70}{0.40 \times 0.70 + 0.60 \times 0.30}$
B) $\frac{0.60 \times 0.30}{0.40 \times 0.70 + 0.60 \times 0.30}$
C) $0.70$
D) $0.40$
E) $\frac{0.40 \times 0.70}{0.60 \times 0.30}$

Çözüm:
A = Araba kullanmak, P(A) = 0.70.
B = Toplu taşıma kullanmak, P(B) = 0.30.
T = Trafikte kalmak.
P(T|A) = Araba kullanırsa trafikte kalma olasılığı = 0.40.
P(T|B) = Toplu taşıma kullanırsa trafikte kalma olasılığı = 0.60.
İstenen: P(A|T) = $\frac{P(T|A)P(A)}{P(T)}$
$P(T) = P(T|A)P(A) + P(T|B)P(B) = (0.40)(0.70) + (0.60)(0.30)$.
$P(A|T) = \frac{0.40 \times 0.70}{0.40 \times 0.70 + 0.60 \times 0.30}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 5:

Bir kutuda 5 kırmızı ve 5 mavi top vardır. İlk çekilen topun mavi olduğu ve geri atılmadan ikinci bir top çekildiği biliniyor. İkinci topun kırmızı olma olasılığı nedir?

A) 5/10
B) 5/9
C) 4/9
D) 5/10
E) 1/2

Çözüm:
Bu bir koşullu olasılık problemidir. Bayes teoremi gerektirmez. “İlk çekilen topun mavi olduğu ve geri atılmadığı biliniyor” bilgisi, yeni bir durum yaratır. Artık torbada 5 kırmızı ve 4 mavi top, toplam 9 top vardır.
İkinci topun kırmızı olma olasılığı, bu yeni duruma göre $\frac{\text{kırmızı top sayısı}}{\text{toplam top sayısı}} = \frac{5}{9}$’dur.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 6:

Bir hastaneye başvuran hastaların %75’i grip, %25’i başka bir hastalıktan muzdariptir. Grip hastalarının %90’ında, diğer hastaların %20’sinde yüksek ateş görülmektedir. Rastgele seçilen bir hastada yüksek ateş olduğu bilindiğine göre, bu hastanın grip olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.90}{0.90+0.20}$
B) $\frac{0.20 \times 0.25}{0.90 \times 0.75 + 0.20 \times 0.25}$
C) $\frac{0.75}{0.75+0.25}$
D) $\frac{0.90 \times 0.75}{0.90 \times 0.75 + 0.20 \times 0.25}$
E) $\frac{0.90 \times 0.75}{0.20 \times 0.25}$

Çözüm:
G = Grip olmak, P(G) = 0.75.
H = Diğer hastalıktan muzdarip olmak, P(H) = 0.25.
Y = Yüksek ateşin görülmesi.
P(Y|G) = Gripse yüksek ateş olasılığı = 0.90.
P(Y|H) = Diğer hastalıksa yüksek ateş olasılığı = 0.20.
İstenen: P(G|Y) = $\frac{P(Y|G)P(G)}{P(Y)}$
$P(Y) = P(Y|G)P(G) + P(Y|H)P(H) = (0.90)(0.75) + (0.20)(0.25)$.
$P(G|Y) = \frac{0.90 \times 0.75}{0.90 \times 0.75 + 0.20 \times 0.25}$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 7:

Bir e-posta filtreleme sistemi, gelen e-postaların %70’inin spam olduğunu tahmin etmektedir. Spam e-postaların %90’ını doğru şekilde, spam olmayanların ise %5’ini yanlışlıkla spam olarak işaretlemektedir. Gelen bir e-postanın sistem tarafından spam olarak işaretlendiği bilindiğine göre, bu e-postanın gerçekten spam olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.90}{0.90+0.05}$
B) $\frac{0.05 \times 0.30}{0.90 \times 0.70 + 0.05 \times 0.30}$
C) $\frac{0.90 \times 0.70}{0.90 \times 0.70 + 0.05 \times 0.30}$
D) $\frac{0.90 \times 0.70}{0.05 \times 0.30}$
E) $\frac{0.70}{0.70+0.30}$

Çözüm:
S = Spam, P(S) = 0.70. S’ = Spam değil, P(S’) = 0.30.
F = Sistemin spam olarak işaretlemesi.
P(F|S) = Gerçek spam iken spam olarak işaretlenme olasılığı = 0.90.
P(F|S’) = Spam değil iken spam olarak işaretlenme olasılığı = 0.05.
İstenen: P(S|F) = $\frac{P(F|S)P(S)}{P(F)}$
$P(F) = P(F|S)P(S) + P(F|S’)P(S’) = (0.90)(0.70) + (0.05)(0.30)$.
$P(S|F) = \frac{0.90 \times 0.70}{0.90 \times 0.70 + 0.05 \times 0.30}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 8:

Bir havayolu şirketinin uçaklarının %80’i büyük, %20’si küçüktür. Büyük uçakların %5’i, küçük uçakların ise %10’u rötar yapmaktadır. Bugün rötar yapan bir uçağın küçük uçak olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.10 \times 0.20}{0.05 \times 0.80 + 0.10 \times 0.20}$
B) $\frac{0.05 \times 0.80}{0.05 \times 0.80 + 0.10 \times 0.20}$
C) $0.20$
D) $0.10$
E) $\frac{0.10 \times 0.20}{0.05 \times 0.80}$

Çözüm:
B = Büyük uçak, P(B) = 0.80. K = Küçük uçak, P(K) = 0.20.
R = Rötar yapması.
P(R|B) = Büyük uçağın rötar yapma olasılığı = 0.05.
P(R|K) = Küçük uçağın rötar yapma olasılığı = 0.10.
İstenen: P(K|R) = $\frac{P(R|K)P(K)}{P(R)}$
$P(R) = P(R|B)P(B) + P(R|K)P(K) = (0.05)(0.80) + (0.10)(0.20)$.
$P(K|R) = \frac{0.10 \times 0.20}{0.05 \times 0.80 + 0.10 \times 0.20}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 9:

Bir lisede öğrencilerin %60’ı kız, %40’ı erkektir. Kız öğrencilerin %30’u, erkek öğrencilerin %50’si matematik dersinde başarılıdır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikte başarısız olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.70 \times 0.60}{0.70 \times 0.60 + 0.50 \times 0.40}$
B) $\frac{0.50 \times 0.40}{0.30 \times 0.60 + 0.50 \times 0.40}$
C) $0.60$
D) $\frac{0.30 \times 0.60}{0.30 \times 0.60 + 0.50 \times 0.40}$
E) $\frac{0.60}{0.40}$

Çözüm:
K = Kız öğrenci, P(K) = 0.60.
E = Erkek öğrenci, P(E) = 0.40.
B = Başarılı, B’ = Başarısız.
P(B|K) = Kızların başarılı olma olasılığı = 0.30. Bu durumda $P(B’|K) = 1-0.30 = 0.70$.
P(B|E) = Erkeklerin başarılı olma olasılığı = 0.50. Bu durumda $P(B’|E) = 1-0.50 = 0.50$.
İstenen: P(K|B’) = $\frac{P(B’|K)P(K)}{P(B’)}$
$P(B’) = P(B’|K)P(K) + P(B’|E)P(E) = (0.70)(0.60) + (0.50)(0.40)$.
$P(K|B’) = \frac{0.70 \times 0.60}{0.70 \times 0.60 + 0.50 \times 0.40}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 10:

İki kavanozdan birincisinde 2 beyaz, 3 siyah bilye; ikincisinde 4 beyaz, 1 siyah bilye vardır. Rastgele bir kavanoz seçilip içinden bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin birinci kavanozdan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{2/5 \times 1/2}{2/5 \times 1/2 + 4/5 \times 1/2}$
B) $\frac{4/5 \times 1/2}{2/5 \times 1/2 + 4/5 \times 1/2}$
C) $1/2$
D) $2/5$
E) $4/5$

Çözüm:
A1 = Birinci kavanozu seçmek, P(A1) = 1/2.
A2 = İkinci kavanozu seçmek, P(A2) = 1/2.
B = Çekilen bilyenin beyaz olması.
P(B|A1) = Birinci kavanozdan beyaz çekme olasılığı = 2/5.
P(B|A2) = İkinci kavanozdan beyaz çekme olasılığı = 4/5.
İstenen: P(A1|B) = $\frac{P(B|A1)P(A1)}{P(B)}$
$P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) = (\frac{2}{5})(\frac{1}{2}) + (\frac{4}{5})(\frac{1}{2})$.
$P(A1|B) = \frac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 11:

Bir ürün, A ve B adlı iki tedarikçiden alınmaktadır. A tedarikçisinden gelen ürünlerin %99’u, B tedarikçisinden gelenlerin %90’ı sağlamdır. A tedarikçisinin toplam ürünün %40’ını, B tedarikçisinin %60’ını sağladığı biliniyor. Rastgele seçilen bir ürünün sağlam olduğu bilindiğine göre, A tedarikçisinden gelme olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.99 \times 0.40}{0.99 \times 0.40 + 0.90 \times 0.60}$
B) $\frac{0.90 \times 0.60}{0.99 \times 0.40 + 0.90 \times 0.60}$
C) $\frac{0.40}{0.40+0.60}$
D) $0.99$
E) $0.90$

Çözüm:
A = A tedarikçisi, P(A) = 0.40.
B = B tedarikçisi, P(B) = 0.60.
S = Sağlam ürün.
P(S|A) = A’dan gelen ürünün sağlam olma olasılığı = 0.99.
P(S|B) = B’den gelen ürünün sağlam olma olasılığı = 0.90.
İstenen: P(A|S) = $\frac{P(S|A)P(A)}{P(S)}$
$P(S) = P(S|A)P(A) + P(S|B)P(B) = (0.99)(0.40) + (0.90)(0.60)$.
$P(A|S) = \frac{0.99 \times 0.40}{0.99 \times 0.40 + 0.90 \times 0.60}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 12:

Sınıfta öğrencilerin %20’si Almanca, %30’u Fransızca, %50’si İngilizce öğrenmektedir. Her gruptan seçilen öğrencilerin %10’u üniversite sınavında başarı göstermiştir. Rastgele seçilen bir öğrencinin üniversite sınavında başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin Almanca öğrenen bir öğrenci olma olasılığı kaçtır?

A) $0.10$
B) $0.20$
C) $\frac{0.10 \times 0.20}{0.10 \times 0.20 + 0.10 \times 0.30 + 0.10 \times 0.50}$
D) $\frac{0.10 \times 0.30}{0.10 \times 0.20 + 0.10 \times 0.30 + 0.10 \times 0.50}$
E) $\frac{0.10 \times 0.20}{0.10}$

Çözüm:
A = Almanca öğrenen, P(A) = 0.20.
F = Fransızca öğrenen, P(F) = 0.30.
İ = İngilizce öğrenen, P(İ) = 0.50.
B = Sınavda başarılı olmak.
P(B|A) = P(B|F) = P(B|İ) = 0.10 (tüm gruplarda başarı olasılığı %10).
İstenen: P(A|B) = $\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|F)P(F) + P(B|İ)P(İ) = (0.10)(0.20) + (0.10)(0.30) + (0.10)(0.50)$.
$P(A|B) = \frac{0.10 \times 0.20}{0.10 \times 0.20 + 0.10 \times 0.30 + 0.10 \times 0.50}$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 13:

Bir banka, müşterilerinin kredi notuna göre borçlarını ödeme olasılıklarını tahmin etmektedir. Müşterilerin %10’unun yüksek riskli olduğu varsayılmaktadır. Yüksek riskli müşterilerin %90’ı, düşük riskli müşterilerin %20’si borçlarını ödememektedir. Rastgele seçilen bir müşterinin borcunu ödemediği bilindiğine göre, bu müşterinin yüksek riskli olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.90 \times 0.10}{0.90 \times 0.10 + 0.20 \times 0.90}$
B) $\frac{0.20 \times 0.90}{0.90 \times 0.10 + 0.20 \times 0.90}$
C) $0.90$
D) $0.10$
E) $\frac{0.90}{0.20}$

Çözüm:
Y = Yüksek riskli, P(Y) = 0.10.
D = Düşük riskli, P(D) = 0.90.
Ö = Borcunu ödememek.
P(Ö|Y) = Yüksek riskli ise borcu ödememe olasılığı = 0.90.
P(Ö|D) = Düşük riskli ise borcu ödememe olasılığı = 0.20.
İstenen: P(Y|Ö) = $\frac{P(Ö|Y)P(Y)}{P(Ö)}$
$P(Ö) = P(Ö|Y)P(Y) + P(Ö|D)P(D) = (0.90)(0.10) + (0.20)(0.90)$.
$P(Y|Ö) = \frac{0.90 \times 0.10}{0.90 \times 0.10 + 0.20 \times 0.90}$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 14:

Bir market, A ve B olmak üzere iki markanın pilini satmaktadır. A markasının pillerinin %1’i, B markasının pillerinin %3’ü arızalıdır. Marketin stokunun %70’i A, %30’u B markasına aittir. Rastgele seçilen bir pilin arızalı olduğu bilindiğine göre, bu pilin B markasına ait olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{0.01 \times 0.70}{0.01 \times 0.70 + 0.03 \times 0.30}$
B) $\frac{0.03 \times 0.30}{0.01 \times 0.70 + 0.03 \times 0.30}$
C) $0.30$
D) $0.03$
E) $\frac{0.03 \times 0.30}{0.01 \times 0.70}$

Çözüm:
A = A markası, P(A) = 0.70.
B = B markası, P(B) = 0.30.
Ar = Arızalı pil.
P(Ar|A) = A markasının arızalı olma olasılığı = 0.01.
P(Ar|B) = B markasının arızalı olma olasılığı = 0.03.
İstenen: P(B|Ar) = $\frac{P(Ar|B)P(B)}{P(Ar)}$
$P(Ar) = P(Ar|A)P(A) + P(Ar|B)P(B) = (0.01)(0.70) + (0.03)(0.30)$.
$P(B|Ar) = \frac{0.03 \times 0.30}{0.01 \times 0.70 + 0.03 \times 0.30}$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 15:

İki sandık vardır. 1. sandıkta 1 beyaz, 9 siyah top; 2. sandıkta 10 beyaz, 1 siyah top vardır. Rastgele bir sandık seçip bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olduğu bilindiğine göre, bu topun 2. sandıktan gelme olasılığı kaçtır?

A) $\frac{1/10 \times 1/2}{1/10 \times 1/2 + 10/11 \times 1/2}$
B) $\frac{10/11 \times 1/2}{1/10 \times 1/2 + 10/11 \times 1/2}$
C) $1/2$
D) $1/10$
E) $10/11$

Çözüm:
S1 = 1. sandık, P(S1) = 1/2.
S2 = 2. sandık, P(S2) = 1/2.
B = Çekilen topun beyaz olması.
P(B|S1) = 1. sandıktan beyaz top çekme olasılığı = 1/10.
P(B|S2) = 2. sandıktan beyaz top çekme olasılığı = 10/11.
İstenen: P(S2|B) = $\frac{P(B|S2)P(S2)}{P(B)}$
$P(B) = P(B|S1)P(S1) + P(B|S2)P(S2) = (\frac{1}{10})(\frac{1}{2}) + (\frac{10}{11})(\frac{1}{2})$.
$P(S2|B) = \frac{\frac{10}{11} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{2} + \frac{10}{11} \times \frac{1}{2}}$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---