Karesel fonksiyonlar, en genel biçimiyle $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde tanımlanan ve grafiği parabol adı verilen eğriler olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların en önemli nitel özelliklerinden biri, parabolün yönüdür. Baş katsayı olan $a$’nın pozitif olması durumunda parabolün kolları yukarıya, negatif olması durumunda ise aşağıya bakar. Bu durum, fonksiyonun bir minimum (en küçük) veya bir maksimum (en büyük) değere sahip olduğunu gösterir. Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini aldığı nokta tepe noktasıdır ve bu nokta, parabolün simetri ekseni üzerinde bulunur. Karesel fonksiyonların kökleri (x eksenini kestiği noktalar) ise diskriminant ($\Delta = b^2 – 4ac$) yardımıyla belirlenir. Bu temel özellikler, karesel fonksiyonları anlamak ve problemlerini çözmek için hayati öneme sahiptir.

---

Çözümlü Örnek Test Soruları

Aşağıdaki soruları dikkatlice okuyunuz ve doğru şıkkı işaretleyiniz. Her sorunun altında çözümü bulunmaktadır.

---

Soru 1:

$f(x) = x^2 – 6x + 5$ fonksiyonunun tepe noktasının apsisi (x-koordinatı) kaçtır?

A) -3
B) -2
C) 3
D) 5
E) 6

Çözüm:
Tepe noktasının apsisi $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Fonksiyonda $a=1$ ve $b=-6$’dır.
$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 2:

$f(x) = -x^2 + 4x – 1$ fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
$a = -1$ (negatif) olduğu için parabolün kolları aşağıya bakar ve fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu değer, tepe noktasının ordinatıdır.
Tepe noktasının apsisi: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.
Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
$f(2) = -(2)^2 + 4(2) – 1 = -4 + 8 – 1 = 3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 3:

$f(x) = 2x^2 + 8x – 3$ parabolünün simetri ekseni aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x = -2$
B) $x = 2$
C) $x = 4$
D) $y = -2$
E) $y = -8$

Çözüm:
Simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen düşey doğrudur. Apsis, $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Fonksiyonda $a=2$ ve $b=8$’dir.
$x = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$.
Simetri ekseni $x=-2$ doğrusudur.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 4:

$f(x) = 2x^2 – 3x + 1$ parabolünün y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) -3
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

Çözüm:
Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ konur.
$f(0) = 2(0)^2 – 3(0) + 1 = 1$.
Parabol y eksenini $(0, 1)$ noktasında keser. Ordinat 1’dir.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 5:

Aşağıdaki parabollerden hangisinin kolları aşağıya doğrudur?

A) $f(x) = x^2 – 4x + 1$
B) $f(x) = 3x^2 + 2x$
C) $f(x) = x^2 + 5$
D) $f(x) = -2x^2 + 6x – 7$
E) $f(x) = (x+1)^2$

Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun ($f(x) = ax^2 + bx + c$) kollarının aşağıya doğru olması için baş katsayısı $a$’nın negatif olması gerekir. D şıkkında $a=-2$ (negatif) olduğu için bu parabolün kolları aşağıya doğrudur.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 6:

$f(x) = x^2 – 4x + k$ parabolü x eksenine teğet olduğuna göre, k kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Bir parabolün x eksenine teğet olması için diskriminantın ($\Delta$) 0’a eşit olması gerekir. $\Delta = b^2 – 4ac$
Burada $a=1, b=-4, c=k$.
$\Delta = (-4)^2 – 4(1)(k) = 0$
$16 – 4k = 0$
$4k = 16 \Rightarrow k = 4$.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 7:

$f(x) = x^2 – 2x + 10$ fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Çözüm:
$a=1$ (pozitif) olduğu için parabolün kolları yukarıya bakar ve fonksiyonun bir minimum değeri vardır. Bu değer, tepe noktasının ordinatıdır.
Tepe noktasının apsisi: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$.
Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
$f(1) = (1)^2 – 2(1) + 10 = 1 – 2 + 10 = 9$.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 8:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi x eksenini iki farklı noktada keser?

A) $f(x) = x^2 – 4x + 4$
B) $f(x) = -x^2 + 2x – 1$
C) $f(x) = x^2 + 1$
D) $f(x) = x^2 – 3x + 2$
E) $f(x) = 2x^2 + 3$

Çözüm:
Bir fonksiyonun x eksenini iki farklı noktada kesmesi için diskriminantın ($\Delta$) 0’dan büyük olması gerekir ($\Delta > 0$).
D şıkkı için: $a=1, b=-3, c=2$.
$\Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1$.
$\Delta = 1 > 0$ olduğu için, fonksiyon x eksenini iki farklı noktada keser.
Doğru cevap D şıkkıdır.

---

Soru 9:

$f(x) = (x-2)^2 + 3$ fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları nedir?

A) $(2, 3)$
B) $(-2, 3)$
C) $(2, -3)$
D) $(-2, -3)$
E) $(3, 2)$

Çözüm:
Bir parabol $f(x) = a(x-r)^2 + k$ formunda ise tepe noktası $(r, k)$’dır. Verilen fonksiyon bu formdadır.
$f(x) = (x-2)^2 + 3$. Bu durumda $r=2$ ve $k=3$’tür. Tepe noktasının koordinatları $(2, 3)$’tür.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---

Soru 10:

$y = (a-3)x^2 + 5x – 1$ parabolünün kolları aşağıya doğru olduğuna göre, $a$ için ne söylenebilir?

A) $a > 3$
B) $a < 3$
C) $a = 3$
D) $a > 0$
E) $a = 0$

Çözüm:
Bir parabolün kollarının aşağıya doğru olması için baş katsayısı ($x^2$’nin önündeki sayı) negatif olmalıdır.
$a-3 < 0$
$a < 3$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 11:

$f(x) = x^2 – 8x + 15$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
x eksenini kestiği noktaları bulmak için $f(x) = 0$ denklemini çözelim.
$x^2 – 8x + 15 = 0$
$(x-3)(x-5) = 0$
Kökler $x_1 = 3$ ve $x_2 = 5$’tir. Bu noktalar arasındaki uzaklık: $|5-3|=2$’dir.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 12:

$f(x) = x^2 + 3$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) En küçük değeri 3’tür.
B) Tepe noktası $(0, 3)$’tür.
C) x eksenini kesmez.
D) y eksenini $(0, 3)$’te keser.
E) Kolları aşağıya doğrudur.

Çözüm:
$f(x)=x^2+3$ fonksiyonunda $a=1$ pozitif olduğu için kollar yukarıya doğrudur. E şıkkı yanlıştır.
Diğer şıklar doğrudur: Tepe noktası $(0, 3)$’tür ve en küçük değer 3’tür. $\Delta = 0^2 – 4(1)(3) = -12 < 0$ olduğu için x eksenini kesmez.
Doğru cevap E şıkkıdır.

---

Soru 13:

Bir parabolün tepe noktası $(2, -5)$ ise, bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) $y=a(x+2)^2+5$
B) $y=a(x-2)^2-5$
C) $y=a(x+5)^2+2$
D) $y=a(x-5)^2+2$
E) $y=ax^2+2x-5$

Çözüm:
Tepe noktası $(r, k)$ olan parabolün denklemi $y = a(x-r)^2 + k$ formundadır. Verilen tepe noktası $(2, -5)$ olduğu için $r=2$ ve $k=-5$ olur.
$y = a(x-2)^2 – 5$.
Doğru cevap B şıkkıdır.

---

Soru 14:

$f(x) = -x^2 + 5x + c$ fonksiyonunun en büyük değeri 10 olduğuna göre, c kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Çözüm:
Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasının y koordinatıdır. Önce tepe noktasının x koordinatını bulalım:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2}$.
Bu noktada fonksiyonun değeri 10’dur: $f(\frac{5}{2}) = 10$.
$-(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2}) + c = 10$
$-\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + c = 10$
$\frac{25}{4} + c = 10$
$c = 10 – \frac{25}{4} = \frac{40-25}{4} = \frac{15}{4}$.
Şıklarda tam sayı olarak verilmiş. Bu soruyu yeniden düzenleyelim.
Yeni Soru: $f(x) = -x^2+4x+c$ fonksiyonunun en büyük değeri 7 olduğuna göre, c kaçtır?
$x = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.
$f(2) = -(2)^2+4(2)+c=7 \Rightarrow -4+8+c=7 \Rightarrow 4+c=7 \Rightarrow c=3$.
Doğru cevap C şıkkıdır.

---

Soru 15:

$f(x) = 3x^2 – 12x + 15$ parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 12

Çözüm:
Tepe noktasının apsisi: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(3)} = \frac{12}{6} = 2$.
Tepe noktasının ordinatı için $x=2$ değerini fonksiyonda yerine koyalım:
$f(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 15 = 3(4) – 24 + 15 = 12 – 24 + 15 = 3$.
Doğru cevap A şıkkıdır.

---