Bir üçgende kosinüs teoremi üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın kesiştiği köşedeki açı biliniyorsa üçüncü kenarı bulmak için kullanılır.
Soru: Şekilde ABC ikizkenar üçgen, A, C, E ve B, C, D noktaları doğrusal, sekiz tane AB, beş tane BC uzunluğuna eşit, CE iki birim ve CD beş birim olduğuna göre x uzunluğu kaç birimdir bulunuz.
Çözüm: ABC ikizkenar üçgeninde sekiz tane AB, beş tane BC uzunluğuna eşit olduğuna göre AB eşittir beş k ve BC eşittir sekiz k yazılabilir. ABC ikizkenar üçgeninde A köşesi ikiz kenarların buluştuğu köşe olduğu için BC kenarına çizilecek diklik tabanı iki eşit parçaya bölecektir. Aynı zamanda tabana da dik olacağı için ortaya 3-4-5 dik üçgeni çıkar ve Ah da üç k olarak bulunur. Buradan kosinüs alfa dört bölü beş olarak bulunur. CDE üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa x kök on üç olarak bulunur.
Çözüm
ABCD yamuğunun B köşesinden [AD] kenarına paralel olacak şekilde [BK] kenarı çizilirse ABKD bir paralelkenar olur.
|BK| =3br
|DK| =4 br ve |KC| =8 br olur.
m(BKD) = a olduğundan m(BKC) = 180 - oddır.
BKC üçgenine kosinüs teoremi uygulanırsa cos(180 - cı) bulunur. cos(180 - a) = -cosa olacağından D/ßîa açısının kosinüsü de elde edilmiş olur.
Çözüm:
ABC ikizkenar üçgen
8|AB| = 5|BC|
olduğuna göre,
|AB| = 5k ve
|BC| = 8k yazılabilir.
ABC ikizkenar üçgeninde A köşesi ikizkenarların buluştuğu köşe olduğu için [BC] kenarına çizilecek diklik tabanı iki eşit parçaya bölecektir. |BH| = |HC| = 5k olduğundan AHC üçgeni 3 - 4 - 5 üçgenidir. |AH| = Sk yazılır. Böylece m(/(CB) = a açısının kosinüsü bulunabilir.
SİNÜS TEOREMİNİN İSPATI
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olan [BO] kenarını doğrultusunu bozmadan uzatalım. Çemberi kestiği noktaya D diyelim. [BD] çemberin çapı olur. A köşesi ile D noktasını birleştirelim. B/AD açısı 90° olur. cı + ß = 90° Aynı yayı gören çevre açılar eşit olacağından
4. soruda çözüm doğru, sadece şekil üzerinde paralel çizilen uzunluk 12 birim yazılmış ama doğrusu 3 olacak. Çözümde bu uzunluk zaten 3 alındığı için çözümde hata yok