Üçgende Açı Kenar Bağıntıları ve Üçgen Eşitsizliği 9. Sınıf

Üçgende Açı-Kenar İlişkisi:

1. İç Açı Toplamı: Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. Yani, A, B ve C iç açıları varsa, A + B + C = 180.

2. Dik Üçgen: Dik üçgende, dik açıya karşılık gelen kenarlar "kathet" olarak adlandırılır ve diğer iki kenar "hipotenüs" olarak adlandırılır. A^2 + B^2 = C^2 (Pisagor Teoremi) formülü geçerlidir.

3. Kenar Uzunlukları: Bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Örneğin, üçgenin kenarları a, b ve c ise, a + b > c, a + c > b ve b + c > a.

Üçgen Eşitsizliği:

1. Bir Kenarın Uzunluğu: Herhangi bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçüktür.

2. İki Kenarın Uzunluğu: Herhangi bir üçgenin iki kenarı, diğer kenardan daha uzundur.

3. Üç Kenarın Uzunluğu: Üç kenarın uzunlukları ile yapılan herhangi bir açıma uyan bir üçgen, gerçek bir üçgendir.

Tarihçe:

Bu konular, antik Yunan matematikçileri tarafından ele alınmış ve geliştirilmiştir. Özellikle, Pisagor Teoremi'nin (M.Ö. 6. yüzyıl) bu alandaki önemli bir kilometre taşı olduğunu söyleyebiliriz. Yunan matematikçileri, üçgenlerin özelliklerini ve ilişkilerini sistemli bir şekilde inceleyerek bu alana önemli katkılarda bulunmuşlardır.

• Bir üçgende; büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
• Bir üçgende; büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı bulunur.
• Bir üçgende iki kenar eş değilse, ölçüsü daha büyük olan açının karşısında daha uzun kenar olur.

Bu kural bir üçgenin kenarları ile açıları arasında geçerlidir. Ancak bir üçgende; örneğin 20° lik bir açının karşısındaki kenar, başka bir üçgendeki 60° lik açının karşısındaki kenardan büyük olabilir. Çünkü bunlar farklı üçgenlerdir.

Bilgi: Bir dik üçgende en büyük kenar hipotenüstür. Geniş açılı bir üçgende en büyük kenar geniş açının karşısındaki kenardır.

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.
Çözüm: |AB| = |AC| olduğunu varsayalım. Tepe açısının ölçüsü 80° olan bir ikizkenar üçgenin taban açılarından her birinin ölçüsü 50° olur. Ancak |AB| < |AC| verildiğinden C açısı B açısından küçük olmalıdır. Bu durumda C açısı 50° den küçük olacaktır. Yani tam sayı olarak en fazla 49° olabilir.
Not: B açısının en küçük tam sayı değeri sorulsa idi 51° olacaktı.

Örnek 4 Çözümü: BDC üçgeninde en büyük kenar 100° nin karşısındaki kenar olacağından
6 < |BC| dir. |BC| en az 7 cm olabilir.
ABC dik üçgeninde en büyük kenar hipotenüs olacağından
|BC| < |AC| dir. Yani 7 < |BC| olur. 7 den büyük en küçük tam sayı değeri 8 dir.
Örnek 7 Çözüm: a ve b üçgenin kenar uzunlukları olduğundan, bunlar birer pozitif tam sayıdır.
a- b = 24 ise
24 sayısının pozitif çarpanlarına bakalım.
24 = 24 . 1 ise
a=24 cm, b=1 cm ve c=5 cm için
1 + 5 < 24 olur ve üçgen oluşmaz.
24 = 12 . 2 ise
a=12 cm, b=2 cm ve c=5 cm için
2 + 5 < 12 olurve üçgen oluşmaz. 24=8-3 ise a=8 cm, b=3 cm ve c=5 cm için 3 + 5 = 8 olur ve üçgen oluşmaz. 24 = 6-4 ise a=6 cm, b=4 cm ve c=5 cm için 4 + 5 > 6 olur ve üçgen oluşur.
Diğer çarpanlar a ve b için simetriktir. Çevre uzunluğunu değiştirecek farklı bir sonuç gelmez.
Buna göre,
a=6 cm ,b=4 cm ve c=5 cm için
Çevre(ABC) = 15 cm bulunur.