Bu konuda, iki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri ve ortak katları arasındaki en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulacağımızı inceleyeceğiz. Bu kavramlar, matematiğin birçok alanında ve günlük hayatta, örneğin problemleri çözerken veya sayılarla ilgili ilişkileri analiz ederken kullanılır.

1. En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölen en büyük doğal sayıya En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. EBOB, verilen sayıların asal çarpanlarına ayrılmasıyla kolayca bulunabilir.

• EBOB’u Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılır.

Örnek: 30 ve 45 sayılarının EBOB’unu bulalım.

• 30 = 2¹ * 3¹ * 5¹
• 45 = 3² * 5¹
• Ortak asal çarpanlar 3 ve 5’tir.
• 3’ün üssü en küçük olanı 3¹’dir. 5’in üssü en küçük olanı 5¹’dir.
• EBOB(30, 45) = 3¹ * 5¹ = 15

2. En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının katı olan en küçük doğal sayıya En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. EKOK, verilen sayıların asal çarpanlarına ayrılmasıyla kolayca bulunabilir.

• EKOK’u Bulma: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır.

Örnek: 30 ve 45 sayılarının EKOK’unu bulalım.

• 30 = 2¹ * 3¹ * 5¹
• 45 = 3² * 5¹
• Tüm asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir.
• 2’nin üssü en büyük olanı 2¹’dir. 3’ün üssü en büyük olanı 3²’dir. 5’in üssü en büyük olanı 5¹’dir.
• EKOK(30, 45) = 2¹ * 3² * 5¹ = 2 * 9 * 5 = 90

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

İki doğal sayının (a ve b) EBOB’u ile EKOK’unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir.

• Formül: EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: 60 ve 90 sayılarının EBOB’u kaçtır?

A) 15 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60

Çözüm: 60 ve 90’ı asal çarpanlarına ayıralım.

• 60 = 2² * 3¹ * 5¹
• 90 = 2¹ * 3² * 5¹ EBOB için ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları çarpalım:
• 2¹ * 3¹ * 5¹ = 2 * 3 * 5 = 30 Doğru Cevap: C

---

Soru 2: 12, 18 ve 36 sayılarının EKOK’u kaçtır?

A) 36 B) 54 C) 72 D) 108 E) 216

Çözüm: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

• 12 = 2² * 3¹
• 18 = 2¹ * 3²
• 36 = 2² * 3² EKOK için tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alalım:
• 2² ve 3²
• EKOK(12, 18, 36) = 2² * 3² = 4 * 9 = 36 Doğru Cevap: A

---

Soru 3: İki doğal sayının çarpımı 240’tır. Bu sayıların EBOB’u 8 olduğuna göre, EKOK’u kaçtır?

A) 15 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60

Çözüm: EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi kullanalım: EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b 8 * EKOK(a, b) = 240 EKOK(a, b) = 240 / 8 = 30 Doğru Cevap: C

---

Soru 4: A = 2³ * 3² * 5¹ ve B = 2² * 3⁴ * 7¹ olduğuna göre, EKOK(A, B) değeri kaçtır?

A) 2² * 3² B) 2³ * 3⁴ * 5¹ * 7¹ C) 2² * 3² * 5¹ * 7¹ D) 2³ * 3⁴ E) 2³ * 3⁴ * 5¹

Çözüm: EKOK için tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alalım.

• 2’nin üssü en büyük olanı: 2³
• 3’ün üssü en büyük olanı: 3⁴
• Ortak olmayan asal çarpanlar: 5¹ ve 7¹
• EKOK(A, B) = 2³ * 3⁴ * 5¹ * 7¹ Doğru Cevap: B

---

Soru 5: 18 ve 24 sayılarının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı kaçtır?

A) 80 B) 78 C) 72 D) 70 E) 66

Çözüm: Önce EBOB’u bulalım:

• 18 = 2¹ * 3²
• 24 = 2³ * 3¹
• EBOB(18, 24) = 2¹ * 3¹ = 6 Şimdi EKOK’u bulalım:
• EKOK(18, 24) = 2³ * 3² = 8 * 9 = 72 Toplamları: 6 + 72 = 78 Doğru Cevap: B