Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma 10. Sınıf


Kategoriler: 10. sınıf Matematik, Matematik, Polinomlar

P(x) ve Q(x) polinomları verilsin. Q(x) ≠ 0 olmak üzere, P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü



Polinomlarda Bölme İşlemi Yapılırken

  • Bölünen ve bölen polinomun terimleri azalan derecelerine göre yazılır.
  • Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en büyük dereceli terimine bölünür.
  • Bulunan bölüm bölenle çarpılır, elde edilen çarpım bölünenden çıkarılır.
  • Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar bölme işlemi aynı yöntemle devam eder.

Horner Metodu ile Bölme İşlemi

Horner metodu, bir P(x) polinomunun ax + b biçimindeki birinci dereceden bir polinoma bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulmada kolaylık sağlar. Bu metodu bir örnekle açıklayalım.



P(x) Polinomunun x – a ile Bölümünden Kalanın Bulunması

P(x) polinomunun x – a ile bölünmesinden elde edilen kalan, P(x) polinomunda x yerine a yazılarak bulunan P(a) değeridir.

NOT: Polinomlarda bölme işlemini yapmadan kalanı bulmak için böleni sıfır yapan kökü polinomda yerine yazmalıyız.

P(x) Polinomunun (x – a).(x – b) İle Bölümünden Kalanın Bulunması



P(x) Polinomunun ax2+b İle Bölümünden Kalanın Bulunması

Polinomların Tam Sayı Sıfırları

Tam sayı, katsayılı ve başkatsayısı 1 olan polinomların tam sayı sıfırları varsa bu sıfırlar sabit terimin çarpanları arasındadır. Şimdi bir örneklerle gösterelim.

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma Soruları ve Çözümleri

Örnek: P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x + 2 polinomunun x - 2 ile bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
Çözüm: a) x - 2 = 0 ise x = 2 bulunur ve yatay çizginin hizasına yazılır. P(x) in katsayıları da azalan kuvvetlerine göre sıralanır ve aşağıda görüldüğü yerlere yazılır.
b) P(x) in başkatsayısı olan 3 aşağıya aynen yazılır.
c) 2 ile aşağı yazılan 3 sayısı çarpılır ve ikinci katsayı olan 0 ın altına yazılıp toplanır. Toplamın sonucu alta yazılır.
Bölüm polinomu 3. dereceden bir polinom olup katsayıları 3, 6, 7, 17 dir. Dolayısıyla bölüm polinomu B(x) = 3x3 + 6x2 + 7x +17 olur. Son sayı olan 36 kalandır.

Örnek: P(x) = x4 - 2x3 + 3x2 + ax + b polinomunun (x - 1)2 ile tam bölünebilmesi için a ve b kaç olmalıdır?
Çözüm: P(x) in (x -1)2 ile tam bölünebilmesi için P(x) ve P(x) in x - 1 ile bölünmesinden elde edilen bölüm polinomu x - 1 ile tam bölünmelidir. Horner metodu ile bölme yapılırsa x -1 = 0 ise x =1 olur.
P(x) polinomu (x - 1)2 ile tam bölündüğü için kalanlar sıfır olmalıdır.

(K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir.)
Yukarıdaki eşitlikte P(x): Bölünen polinom, Q(x): Bölen polinom, K(x): Kalan polinom, B(x): Bölüm polinomudur.

Polinomlarda bölme işlemi yapılırken aşağıdaki sıra takip edilir.

  • Bölünen ve bölen polinomlar değişkenin azalan kuvvetlerine göre yazılır.
  • Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en büyük dereceli terimine bölünür ve çıkan sonuç bölümün ilk terimi olarak yazılır.
  • Bulunan bu bölüm bölenle çarpılır. Bu çarpım bölünenden çıkarılır.
  • Çıkan sonuçla yukarıdaki işlemler tekrarlanır.
  • Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar işleme devam edilir.
Temel Yeterlilik Sınavı (TYT)
15 Haziran 2019 Cumartesi