Rasyonel fonksiyonlar, matematikte önemli bir yere sahiptir. Bu fonksiyonlar, iki polinomun birbirine bölünmesiyle oluşturulur ve en önemli özellikleri, tanım kümesi ve asimptotlarıdır.

Bir rasyonel fonksiyon, f(x) = P(x) bölü Q(x) şeklinde ifade edilen bir fonksiyondur. Burada P(x) ve Q(x) birer polinomdur ve Q(x) sıfırdan farklı olmak zorundadır.

• Tanım Kümesi:
  • Bir rasyonel fonksiyonun en önemli kuralı, paydasının asla sıfır olamamasıdır.
  • Bu nedenle, fonksiyonun tanım kümesi, paydayı (Q(x)) sıfır yapan tüm x değerlerinin gerçek sayılar kümesinden çıkarılmasıyla elde edilir.
  • Kural: Tanım kümesi = Tüm reel sayılar – {x değeri | Q(x) = 0}
• Asimptotlar:
  • Asimptotlar, fonksiyon grafiğinin sonsuzda yaklaştığı ancak asla kesmediği doğrulardır. Rasyonel fonksiyonların üç tür asimptotu olabilir: düşey, yatay ve eğik.
  • Düşey Asimptot:
    • Paydayı sıfır yapan x değerleri, düşey asimptotların yerini belirler.
    • Kural: Q(x) = 0 yapan x değerleri düşey asimptottur.
  • Yatay Asimptot:
    • Yatay asimptot, x değerleri sonsuza veya eksi sonsuza giderken fonksiyonun yaklaştığı sabit bir y değeridir.
    • Bu asimptot, pay ve paydanın derecelerine (P(x)’in derecesi m, Q(x)’in derecesi n) bakılarak belirlenir:
      • Durum 1: m < n ise yatay asimptot y = 0‘dır.
      • Durum 2: m = n ise yatay asimptot, baş katsayılarının oranına eşittir: y = (P(x)’in baş katsayısı) bölü (Q(x)’in baş katsayısı).
      • Durum 3: m > n ise yatay asimptot yoktur.
  • Eğik Asimptot:
    • Eğik asimptot, payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak bir fazla olduğunda oluşur.
    • Eğik asimptotun denklemi, P(x)’i Q(x)’e bölerek elde edilen bölümün sonucudur.

Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f(x) = (3x + 6) bölü (x – 2) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) Tüm reel sayılar B) Tüm reel sayılar – { -2 } C) Tüm reel sayılar – { 2 } D) Tüm reel sayılar – { 0 } E) Tüm reel sayılar – { -2, 2 }

Çözüm: Fonksiyonun paydasını sıfır yapan x değerini bulalım. x – 2 = 0 x = 2 Bu değer tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Tanım kümesi Tüm reel sayılar – { 2 }’dir. Doğru Cevap: C

Soru 2: f(x) = (4x + 1) bölü (2x – 6) fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 0 B) y = 2 C) y = 4 D) y = 6 E) Yatay asimptot yoktur.

Çözüm: Payın derecesi 1, paydanın derecesi 1’dir. Dereceler eşit olduğu için yatay asimptot, baş katsayıların oranına eşittir. y = 4 bölü 2 = 2 Doğru Cevap: B

Soru 3: f(x) = (x kare + 5x) bölü (x – 1) fonksiyonunun düşey asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 0 B) x = 1 C) x = -1 D) x = -5 E) x = 5

Çözüm: Düşey asimptotu bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz. x – 1 = 0 x = 1 Doğru Cevap: B

Soru 4: f(x) = (x küp + 2) bölü (x – 4) fonksiyonunun yatay asimptotu var mıdır?

A) Evet, y = 1 B) Evet, y = 0 C) Hayır, yoktur. D) Eğik asimptot vardır. E) Yatay ve eğik asimptotları vardır.

Çözüm: Payın derecesi 3, paydanın derecesi 1’dir. Payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu için yatay asimptot yoktur. Doğru Cevap: C

Soru 5: f(x) = (x kare – 4) bölü (x – 2) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) R B) R – { 2 } C) R – { -2 } D) R – { -2, 2 } E) R – { 4 }

Çözüm: Paydayı sıfır yapan x değerini tanım kümesinden çıkarmalıyız. x – 2 = 0 x = 2 Tanım kümesi R – { 2 }’dir. Doğru Cevap: B

Soru 6: f(x) = (2x + 1) bölü (x – 3) fonksiyonunun grafiği, düşey ve yatay asimptotlarını hangi noktada keser?

A) (0, 0) B) (1, 1) C) Asimptotlar kesişmez. D) (3, 2) E) (-1, 3)

Çözüm: Düşey asimptot: Paydayı sıfır yapan değer, x – 3 = 0 -> x = 3. Yatay asimptot: Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğu için, baş katsayıların oranı y = 2 bölü 1 = 2’dir. Düşey asimptot dikey bir doğru, yatay asimptot ise yatay bir doğrudur. Bu doğrular birbirini (3, 2) noktasında keser. Doğru Cevap: D