Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinden bir a elemanı, B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve (a, b) şeklinde gösterilen ifadeye sıralı ikili denir.
Kartezyen Çarpım Grafiği
Öncelikle bu konuda sıralı ikili kavramının bilinmesi gerekmektedir. Kısaca hatırlatırsak (a, b) ifadesine sıralı ikili demiştik. a birinci bileşen ve b ikinci bileşendir. (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = c dir.
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün ikililerin kümesine Aile B'nin kartezyen çarpımı denir ve A x B şeklinde gösterilir. A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B}
Kartezyen çarpımın elemanları liste yöntemi, şema yöntemi ve grafik yöntemi ile gösterilir.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, s(A xB ) = s(A) x s(B) bağıntısı ile bulunur.
Kartezyen çarpımının özellikleri:
Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur. Kartezyen çarpımın kesişim, birleşim ve fark işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
A x A = A2
A x B ≠ B x A
AxBxC = (A x B) x C = A x (B x C)
s(A x B) = s(A) . s(B)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
Örnek: Koordinat düzleminde A x A kartezyen çarpım kümesinin grafiği verilmiştir. Buna göre A x A kümesinde
a) Bileşenleri eşit olan kaç eleman vardır.
b) Birinci bileşeni ikinci bileşeninden büyük olan kaç eleman vardır?
Çözüm:
a) Grafiğe göre, A = {1, 2, 3, 4} olur. A x A kümesinde bileşenleri eşit olan elemanlar (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) olduğundan 4 tanedir.
b) Grafiğe göre birinci bileşeni ikinci bileşenden büyük olan elemanlar (2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (4, 3) olduğundan 6 tanedir.
Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri veriliyor. Buna göre B x A kümesinin alt kümesinin kaç tanesinde (a, 1) elemanı bulunur?
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 2 olduğundan s(A x B) = 3 . 2 = 6 dır. B x A nın (a, 1) elemanı dışından 5 elemanı vardır. Bu elemanların oluşturduğu 2 üzeri 5 tane alt kümenin her birine (a, 1) eklenerek (a, 1) elemanının bulunduğu 2 üzeri 5 = 32 tane alt küme elde edilir.
Faydalı bence 👍👍……….