Örüntü (Kural): Belli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya artan/azalan şekil ya da sayı dizileridir. Matematikte örüntüler genellikle bir kurala (bağıntıya) sahiptir ve bu kural cebirsel olarak ifade edilebilir.

Sayı Örüntüleri: Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu (aritmetik) dizilerdir. Bu sabit farka ortak fark denir. Örneğin, $2, 5, 8, 11, \dots$ dizisinde ortak fark $3$‘tür.

Kuralı Bulma ve Cebirsel İfade: Bir sayı örüntüsünün kuralını bulmak ve bunu cebirsel olarak ifade etmek, konunun ana hedefidir. Kural, genellikle örüntünün herhangi bir adımdaki (n. terimdeki) değerini verir.

1. Ortak Farkı Bulma: Ardışık terimler arasındaki sabit farkı buluruz (örneğimizde 3).
2. Kuralı Yazma (n’e Bağlı): Ortak farkı $n$ (adım sayısı) ile çarparak başlarız. (Örneğimizde $3n$).
3. Düzeltme Yapma: Oluşturduğumuz $3n$ kuralını $n=1$ için kontrol ederiz.
   • $n=1$ için $3n = 3 \cdot 1 = 3$.
   • Ancak örüntünün birinci terimi $2$‘dir.
   • İlk terime ulaşmak için $3$‘ten $1$ çıkarmalıyız ($3 – 1 = 2$).
4. Cebirsel Kural: Kuralımız $3n – 1$ olur. (Bu kuralı $n=2$ için kontrol edelim: $3(2) – 1 = 5$. Doğru!)

Bu cebirsel kural sayesinde, örüntünün $100.$ terimi gibi çok ilerideki bir terimini bile kolayca bulabiliriz ($3(100) – 1 = 299$). Bu cebirsel ifade ($3n-1$), örüntünün genel terimini gösterir.

Çözümlü Örnek Test Soruları

Soru 1

Aşağıdaki örüntünün 5. adımındaki şekil sayısı kaçtır?

Adım Sayısı (n)	Şekil Sayısı
1	4
2	7
3	10
4	13

A) 15

B) 16

C) 17

D) 19

Çözüm

1. Örüntünün kuralını bulalım: Ardışık terimler arasındaki fark (ortak fark) $7-4 = 3$, $10-7 = 3$, $13-10 = 3$. Ortak fark $3$‘tür.
2. 5. adımdaki değeri bulmak için 4. adımdaki değere ortak farkı ekleriz:$13 + 3 = 16$.

Doğru cevap B) 16‘dır.

Soru 2

$1, 5, 9, 13, \dots$ sayı örüntüsünün $n$. adımındaki (genel) kuralını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) $4n – 3$

B) $n + 4$

C) $4n + 1$

D) $3n + 1$

Çözüm

1. Ortak Farkı Bulma: $5-1 = 4$, $9-5 = 4$. Ortak fark $4$‘tür. Kural $4n$ ile başlamalıdır.
2. Düzeltme Yapma: $n=1$ için kuralı kontrol edelim. Örüntünün 1. terimi $1$’dir.$4n \Rightarrow 4(1) = 4$.

   4’ten 1’e ulaşmak için $3$ çıkarmalıyız ($4 – 3 = 1$).

3. Genel Kural: $4n – 3$.

Doğru cevap A) $4n – 3$‘tür.

Soru 3

Genel kuralı $6n – 2$ olan sayı örüntüsünün 4. terimi kaçtır?

A) 18

B) 20

C) 22

D) 24

Çözüm

Örüntünün 4. terimini bulmak için genel kuralda $n$ yerine 4 yazarız:

Doğru cevap C) 22‘dir.

Soru 4

$7, 10, 13, 16, \dots$ sayı örüntüsünün genel kuralını kullanarak 8. terimini bulunuz.

A) 24

B) 25

C) 28

D) 31

Çözüm

1. Ortak Farkı Bulma: Ortak fark $10-7=3$. Kural $3n$ ile başlar.
2. Genel Kuralı Bulma: $n=1$ için: $3n \Rightarrow 3(1) = 3$. İlk terim 7 olduğu için, $3$‘e $4$ eklemeliyiz ($3+4 = 7$). Genel kural: $3n + 4$.
3. 8. Terimi Bulma ($n=8$):
   $$\begin{align*} 3n + 4 &= 3(8) + 4 \\ &= 24 + 4 \\ &= 28\end{align*}$$

Doğru cevap C) 28‘dir.

Soru 5

Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi, 12, 18, 24, 30, $\dots$ örüntüsünün genel terimi olamaz?

A) $6n + 6$

B) $6(n+1)$

C) $6n + 12$

D) $12 + 6(n-1)$

Çözüm

1. Örüntünün Kuralını Bulma: Ortak fark $18-12 = 6$. Kural $6n$ ile başlar.
2. $n=1$ için: $6(1) = 6$. İlk terim 12 olduğu için $6$‘ya $6$ eklemeliyiz ($6+6 = 12$). Genel kural: $6n + 6$.

Şimdi şıkları kontrol edelim:

• A) $6n + 6$ (Kuralın ta kendisidir.)
• B) $6(n+1) = 6n + 6$ (Dağılma özelliği ile kurala eşittir.)
• C) $6n + 12$: $n=1$ için $6(1)+12 = 18$. Örüntünün ilk terimi 12 olmalıdır. Bu, örüntünün genel kuralı olamaz.
• D) $12 + 6(n-1) = 12 + 6n – 6 = 6n + 6$ (Kurala eşittir.)

Doğru cevap C) $6n + 12$‘dir.