Kare ve Özellikleri, Karenin Alanı 10. Sınıf

• Bir ABCD karesinde tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Yani;
  |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a
• Bir ABCD karesinde tüm açılar birbirine eşit ve ölçüleri 90 derecedir. Yani;
  m(A) = m(B) = m(C) = m(D) = 90°
• Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Karenin kenar uzunluğu a birim ise, |AC| = |BD| = a√2 dir.
• Karenin köşegenleri birbirini ortalar.
  Yani |AO| = |OC| = |DO| = |OB| dir.
• Karenin köşegenleri birbirine diktir.
  Yani [AC] dik [BD] dir.
• Karenin köşegenleri açıortaydır.
  m(DAC) = m(CAB) = 45°
  m(CBD) = m(DBA) = 45° dir.
• Bir kenar uzunluğu a birim olan karenin alanı a² birim karedir.Köşegen uzunluğu e birim olan karenin alanı e² / 2 birim karedir.
• Karede köşegenler dik kesişirse uzunlukları eşittir.

ÖRNEK: ABCD bir kare, BEC eşkenar Üçgen, m(AKC) = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
Çözüm: ABCD kare olduğundan m(ABK) = 90°
BEC eşkenar üçgen olduğundan m(KBE) = 60°
|AB| = |BC| ve |BC| = |BE| olduğundan
|AB| = |BE| dir. Dolayısıyla
m(BAE) = m(BEA) = [180° - (90° + 60°)] / 2 = 15° dir.
KAB üçgeninde m(AKC) = m(KAB) + m(KBA)
yani x = 15° + 90° = 105° bulunur.

ÖRNEK: ABCD bir kare
[BD] köşegen
|DE| = 14 cm
|EB| = 2 cm
|AE| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
Çözüm: [AC] köşegeni çizilirse
[AC] dik [BD] olur.
|BD| = 14 + 2 = 16 cm olduğundan
|DO| = |OB| = 8 cm dolayısıyla
|OE| = 6 cm dir.
Ayrıca |AC| = |BD| = 16 cm olduğundan
|AO| = |OC| = 8 cm dir. OAE dik üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa, |AE| = x = 10 cm bulunur.

ÖRNEK: ABCD bir kare
[DE] dik [EC]
|DE| = 9 cm
|EC| = 3 cm
Yukarıdaki verilere göre, |AE| uzunluğu kaç cm dir?
Çözüm: [AK] dik [KE] olacak şekilde,
[AK] ve [KD] çizilirse, EDC ve KAD dik Üçgenlerinin hem açıları hem de hipotenüs uzunlukları eş olduğundan, EDC eştir KAD olur.
Bu durumda |ED| = |KA| = 9 cm ve |EC| = |KD| = 3 cm olur.
EKA dik üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa,
|EA|2 = |EK|2 + |AK|2 yani |EA|2 =12² + 9² olur.
Buradan |EA| = 15 cm bulunur.

ÖRNEK: ABCD bir kare
|AE| = 9 cm
|EF| = 13 cm
|CF| = 2 cm
Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm: ABCD karesinde
|EB| = n alınırsa,
|AB| = |BC| = n + 9 olacağı için
|BF| = n + 7 olur.
FEB dik üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa
|FE|2 = |FB|2 + |EB|2 yani 13² = (n + 7)² + n² olur.
Buradan n = 5 cm bulunur.
O halde, A(ABCD) = |AB|² = (9 + 5)² = 196 cm² bulunur.

ÖRNEK: ABCD ve BEFK
birer kare
|AK| = x
Şekildeki karelerin alanları toplamı 40 cm2 olduğuna göre, x kaç cm dir?
Çözüm: Bir kenar uzunluğu a cm olan ABCD karesinin alanı az, bir kenar uzunluğu b cm olan BEFK karesinin alanı b² dir.
Karelerin alanları toplamı 40 cm2 verildiğine göre,
a2 + b2 = 40 olur.
KAB dik üçgeninde pisagor teoremi yazılırsa,
x2 = a2 + b2
x2 = 40
x = 2√10 cm bulunur.

Kare konusu 11. sınıf geometri dersinin bir konusudur ve ösym'nin yaptığı ygs, lys, kpss gibi matematik sınavlarında soru gelmektedir. Kare konu anlatımı videosunun içeriğinde aşağıdaki başlıklar anlatılmaktadır.

• Kare nedir, tanımı
• Karenin alanı ve çevresi ile ilgili bağıntılar
• Karenin kenarları, açıları ve köşegenleri ile ilgili genel özellikleri
• Kare ile ilgili örnek soru çözümleri