Üçgenlerde Eşlik 9. Sınıf

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir. Yukarıdaki ABC ve DEF üçgenlerinde, |AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |BC| = |EF| ve m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) olduğundan, ABC ile DEF üçgeni eştir. Eş üçgenlerde eş olan kenarlar ve eş olan açılar karşılıklı elemanlar diye adlandırılır. Eş üçgenlerin karşılıklı olarak açıortayları eş, kenarortayları eş ve yükseklikleri de eştir.
1. Kenar Açı Kenar (K.A.K) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bunlar arasındaki açıları eş ise bu iki üçgen eştir. Şekildeki ABC ve DEF üçgenlerinde, |AB| = |DE|, |BC| = |EF| ve m(B) = m(E) olduğundan, Kenar Açı Kenar (K.A.K) eşlik kuralına göre, ABC ve DEF üçgenleri eştir. Buna göre, diğer açılar ve kenarlar da karşılıklı olarak eş olur. Yani, |AC| = |DF|, m(A) = m(D) ve m(C) = m(F) olur.
Çözüm: Çünkü bu iki üçgende, m(ABE) = m(DAC) = 60°, |AD| = |BE| ve |BA| = |AC| dir. Yani A ve B köşelerindeki 60° lik açıların kenarları iki üçgende de eş olduğundan Kenar Açı Kenar eşlik kuralına göre bu iki üçgen eştir. O halde [AD] ve [BE] kenarlarının karşısındaki açılar da eştir. Bu durumda m(CAF) = 60°- a olur. AFC üçgeninin iç açıları toplamından x+ (60°-a) + a =180° ve x = 120° bulunur.
2. Açı Kenar Açı (A.K.A) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eş ise, Açı Kenar Açı eşlik kuralına göre bu iki üçgen eştir. Şekildeki ABC ve DEF üçgenlerinde, m(B) = m(E), m(ê) = m?) ve |BC| = |EF| olduğundan, Açı Kenar Açı (A.K.A.) eşlik kuralına göre, ABC ve DEF üçgenleri eştir. Buna göre, diğer açılar ve kenarlar da karşılıklı olarak eş olur. m(Â) = m(D), |AB| = |DE| ve |AC| = |DF| olur.
Çözüm: ABC ikizkenar üçgeninin taban açılarının eşitliğinden
m(A) = m(B) dir. ABD ile ACE üçgenlerinin ikişer açısı eşit ve eşit olan bu açıların arasındaki kenarlar karşılıklı olarak eş olduğundan bu iki üçgen açı kenar açı eşlik kuralına göre eştir. Eş açıların karşısındaki kenarlar da eş olacağından, |AD| = |AE | =2x ve |BD| = |EC| olur. x+1 = 5 cm ise x = 4 cmdir.
Çevre(ADE) = 5x = 20 cm bulunur.
3. Kenar Kenar Kenar (K. K. K) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarının uzunluğu birbirine eşit ise, Kenar Kenar Kenar eşlik kuralına göre bu iki üçgen eştir. Şekildeki ABC ve DEF üçgenlerinde, |AB| = |DE|, |BC| = |EF| ve |AC| = |DF| olduğundan, Kenar Kenar Kenar (K. K. K.) eşlik kuralına göre, ABC ve DEF üçgenleri eştir. Eş olan iki üçgenin eş olan kenarlarının karşısındaki açıları da eş olur. Aşağıdaki üçgenlerin kenarlarının uzunlukları karşılıklı olarak eşit olduğundan eş olan kenarların karşısındaki açıların ölçüleri de eşittir.
İkizkenar Üçgende Eşlik
a. Bir ikizkenar üçgenin tepe açısından çizilen iç açıortay üçgeni iki eş üçgene ayırır. Eşlikten dolayı açıların her biri 90° olur. Aynı zamanda |BD| = |DC| olur. O halde bir ikizkenar üçgenin tepe açısından çizilen açıortay tabana dik ve tabanı iki eşit parçaya böler.
b. Herhangi bir üçgende, yükseklik kestiği kenarı iki eş parçaya bölmüş ise oluşan üçgenler Kenar Açı Kenar eşlik kuralına göre eş olur. ABD eştir ACD dir.
c. Bir ikizkenar üçgenin taban açılarından açıortaylar, kenarortaylar veya dikmeler (yükseklikler) çizilirse eş üçgenler oluşur.

Tarihçesi: Üçgen eşlik teoremleri genellikle antik Yunan matematikçileri tarafından keşfedilmiş ve geliştirilmiştir. Euclid, özellikle "Elementler" adlı eserinde birçok geometrik teoremi ve tanımı ele almıştır. Eşlik teoremleri, öklidyen geometrinin temel taşlarından biri olmuştur.

Ancak, günümüzdeki tam formülasyonlar ve modern geometri içindeki genişlemeler daha sonraki dönemlere aittir. 19. ve 20. yüzyılda, matematikçiler üçgen eşlik teoremleri konusunda daha derinlemesine çalışmış ve modern geometri içinde bu teoremleri genelleştirmişlerdir. Bu genelleştirmeler, karmaşık sayılar, matrisler ve vektörler gibi modern matematik araçlarını içermektedir.