Bir üçgenin alanı, onun kapladığı yüzeyin ölçüsüdür ve birkaç farklı yöntemle hesaplanabilir. En temel yöntem, bir kenar uzunluğunu ve bu kenara ait yüksekliği kullanarak yapılan hesaplamadır: Alan = (taban * yükseklik) / 2. İkinci bir yöntem, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüs değeri biliniyorsa kullanılır. Bu sinüs alan formülü, Alan = (1/2) * a * b * sinC şeklindedir. Son olarak, üç kenar uzunluğu bilindiğinde ise Heron Formülü kullanılabilir. Bu farklı yaklaşımlar, üçgen alanıyla ilgili çeşitli problemlerin çözümünde esneklik sağlar.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. Bir ABC üçgeninde, BC kenarının uzunluğu 10 cm ve bu kenara ait yükseklik 6 cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 16 B) 30 C) 40 D) 60

Doğru Cevap: B

Çözüm: Üçgenin alan formülü: Alan = (taban * yükseklik) / 2’dir. Bu durumda, taban = 10 cm ve yükseklik = 6 cm’dir. Alan = (10 * 6) / 2 = 60 / 2 = 30 cm²’dir.

---

2. Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm ve 6 cm olan bir ikizkenar üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 12 B) 15 C) 20 D) 30

Doğru Cevap: A

Çözüm: İkizkenar üçgende, 6 cm’lik tabana ait yüksekliği çizdiğimizde, taban iki eşit parçaya (3 cm ve 3 cm) ayrılır. Oluşan dik üçgende Pisagor Teoremi’ni kullanırsak: 3² + h² = 5². h = 4 cm’dir. Alan = (taban * yükseklik) / 2 = (6 * 4) / 2 = 12 cm²’dir.

---

3. Kenar uzunlukları a=8 cm, b=6 cm ve aralarındaki açı 30 derece olan bir üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 12 B) 16 C) 24 D) 48

Doğru Cevap: A

Çözüm: İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı bilindiğinde kullanılan sinüs alan formülü: Alan = (1/2) * a * b * sinC’dir. sin(30 derece) = 1/2’dir. Alan = (1/2) * 8 * 6 * (1/2) = 12 cm²’dir.

---

4. Kenar uzunlukları 5 cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 6 kök(3) B) 6 kök(6) C) 7 kök(6) D) 10 kök(3)

Doğru Cevap: B

Çözüm: Üç kenar uzunluğu bilindiği için Heron Formülü’nü kullanalım. Yarı çevre (u) = (5+6+7)/2 = 9’dur. Alan = kök(u * (u-a) * (u-b) * (u-c)) = kök(9 * (9-5) * (9-6) * (9-7)) = kök(9 * 4 * 3 * 2) = kök(216) = 6 kök(6)’dır.

---

5. Bir ABC üçgeninde, |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve Alan(ABC) = 24 kök(2) cm² olduğuna göre, m(A) kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75

Doğru Cevap: B

Çözüm: Sinüs alan formülünü kullanalım: Alan = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(A). 24 kök(2) = (1/2) * 12 * 8 * sin(A). 24 kök(2) = 48 * sin(A). sin(A) = (24 kök(2)) / 48 = kök(2)/2’dir. Sinüsü kök(2)/2 olan açı 45 derecedir.

---

6. Bir üçgenin taban uzunluğu 16 cm ve alanı 48 cm² ise, bu tabana ait yükseklik kaç cm’dir?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12

Doğru Cevap: B

Çözüm: Alan = (taban * yükseklik) / 2 formülünden, 48 = (16 * yükseklik) / 2. 96 = 16 * yükseklik. Yükseklik = 96 / 16 = 6 cm’dir.

---

7. Kenar uzunlukları 6, 8, 10 olan bir dik üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 24 B) 30 C) 48 D) 60

Doğru Cevap: A

Çözüm: Bu bir dik üçgen olduğundan, alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır. Alan = (6 * 8) / 2 = 48 / 2 = 24 birimkaredir.

---

8. Bir eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 4 cm ise, alanı kaç cm²’dir?

A) 4 kök(3) B) 6 kök(3) C) 8 kök(3) D) 16 kök(3)

Doğru Cevap: A

Çözüm: Eşkenar üçgenin alan formülü: Alan = (a² * kök(3)) / 4’tür. Alan = (4² * kök(3)) / 4 = (16 * kök(3)) / 4 = 4 kök(3) cm²’dir.

---

9. Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 3 cm ve üçgenin çevresi 20 cm olduğuna göre, bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60

Doğru Cevap: B

Çözüm: Üçgenin alanı, Alan = u * r formülüyle de bulunabilir. Burada u yarı çevre, r ise iç teğet çemberin yarıçapıdır. u = 20 / 2 = 10 cm. Alan = 10 * 3 = 30 cm²’dir.

---

10. Taban uzunluğu 12 cm olan bir üçgenin alanı 36 cm² olduğuna göre, bu üçgenin tabana ait yüksekliği kaç cm’dir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

Doğru Cevap: B

Çözüm: Alan = (taban * yükseklik) / 2. 36 = (12 * h) / 2. 72 = 12 * h. h = 6 cm’dir.

---

11. Bir paralelkenarın alanı 48 cm² ve bir kenarının uzunluğu 8 cm ise, bu kenara ait yüksekliği kaç cm’dir?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8

Doğru Cevap: C

Çözüm: Paralelkenarın alanı, Alan = taban * yükseklik formülüyle bulunur. 48 = 8 * h. h = 6 cm’dir.

---

12. Bir dik üçgenin dik kenarları 9 ve 12 birim olduğuna göre, alanı kaç birimkaredir?

A) 45 B) 54 C) 60 D) 72

Doğru Cevap: B

Çözüm: Alan = (dik kenarların çarpımı) / 2. Alan = (9 * 12) / 2 = 108 / 2 = 54 birimkaredir.

---

13. Bir üçgenin iki kenar uzunluğu 10 cm ve 15 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60 derece ise, üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 30 B) 45 C) 30 kök(3) D) 45 kök(3)

Doğru Cevap: D

Çözüm: Sinüs alan formülü: Alan = (1/2) * a * b * sinC. Alan = (1/2) * 10 * 15 * sin(60 derece) = 75 * kök(3)/2 = 45 kök(3) cm²’dir.

---

14. Bir üçgenin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birim ise, alanı kaç birimkaredir?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15

Doğru Cevap: A

Çözüm: Bu bir dik üçgen (3-4-5) olduğundan, alanı (3 * 4) / 2 = 6 birimkaredir.

---

15. Bir üçgenin alanı 50 cm² ve bir kenarı 20 cm ise, bu kenara ait yükseklik kaç cm’dir?

A) 2.5 B) 5 C) 10 D) 15

Doğru Cevap: B

Çözüm: Alan = (taban * yükseklik) / 2. 50 = (20 * h) / 2. 100 = 20 * h. h = 5 cm’dir.