Fonksiyonların Dönüşümleri 11. Sınıf

• b ∈ R olmak üzere f(x) + b fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonunun grafiğinin b birim yukarı ötelenmesi ile elde edilir.
• a ∈ R olmak üzere f(x - a) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseninde a birim ötelenmesi ile elde edilir.
• k ∈ R olmak üzere k . f(x) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonundaki değerlerin k ile çarpılması ile elde edilir.
• k > 1 için fonksiyon parabolse kolları y eksenine yaklaşır.
• -f(x) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği alınarak elde edilir.
• f(-x) fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği alınarak elde edilir.

Örnek: f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ve f(x) + 2 .f(-x) = 6x2 +12 olduğuna göre f(-3) kaçtır?
Çözüm: Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik olduğuna göre f(x) çift fonksiyondur ve f(-x) = f(x) tir.
f(x) + 2 . f(-x) = 6x2 +12
f(x) + 2 .f(x) = 6x2 +12
3.f(x) = 6x2 +12
f(x) = 2x2 + 4 olur.
f(-3) = 2. (-3)2 + 4 = 22 bulunur.

Örnek: y = f(x) fonksiyonunun grafiği y ekseninde 4 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyon elde edilir?
Çözüm y = f(x) fonksiyonundaki her değere 4 eklenmiş olacağından elde edilen fonksiyon y = f(x) + 4 fonksiyonu olur.

Örnek: y = f(x) fonksiyonu x ekseninde pozitif yönde 4 birim ötelenirse hangi fonksiyon elde edilir?
Çözüm: fonksiyonda tanım kümesindeki, her eleman 4 birim azalacağından fonksiyonun sağa doğru 4 birim kayması ile y = f(x - 4) fonksiyonu elde edilir.

Örnek: Yanda grafiği verilen y = x2 fonksiyonu önce 3 birim sola ve sonra 2 birim aşağı ötelenirse oluşan yeni fonksiyonu bulalım.
Çözüm: x ekseninde 3 birim sola ötelenirse y = (x + 3)2 elde edilir. y = (x + 3)2 fonksiyonu 2 birim aşağı ötelenirse fonksiyon y = (x + 3)2-2 olur. Bu da tepe noktası T(-3, -2) olan paraboldür. Örnekten de görüldüğü gibi y = x2 parabolünün tepe noktası O(0, 0) iken 3 birim sola ve 2 birim aşağıya ötelendikten sonra fonksiyonun tepe noktası (ve tüm noktalar) 3 birim sola ve 2 birim aşağıya ötelenerek T(-3, -2) oldu.

Örnek: y = f(x) fonksiyonu üzerinde bir A(3, 2) noktası, y = 5 . f(x) fonksiyonun grafiğinde hangi noktaya dönüşür?
Çözüm: y = k . f(x) fonksiyonlarında tanım kümesinde değişim olmaz. Fonksiyonun aldığı değerler k katsayısı ile çarpılır. O yüzden A(3, 2) noktası y = 5 . f(x) fonksiyonunun grafiğinde A'(3, 10) noktasında dönüşür.

Dikkat:
1. Grafiği verilen bir fonksiyon çift fonksiyon ise f (–x) = f (x) olduğundan y = f (x) ile y = f (–x) fonksiyonlarının grafikleri aynıdır.
2. Grafiği verilen bir fonksiyon tek fonksiyon ise f (–x) = –f(x) olduğundan y = f (–x) ile y = –f (x) fonksiyonlarının grafikleri aynıdır.

Öğrenelim: Günlük yaşantıda bazı nesneleri gruplandırırız. Örneğin hayvanları karada, denizde, hem karada hem denizde yaşayanlar olarak gruplandırırız. Kitapları roman, ders kitabı, test kitabı gibi ayırırız.

TEK FONKSİYON

Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.

• Tek fonksiyonda her x ∈ R için f(-x) = -f(x) sağlanır.
• Tek fonksiyonlarda x'in çift kuvvetlerinin olduğu terimlerin katsayıları sıfırdır.

ÇİFT FONKSİYON

Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlara çift fonksiyon denir.

• Çift fonksiyonlar her x ∈ R için f(-x) = f(x) olur.
• Çift fonksiyonlarda x'in tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin katsayıları sıfırdır.

Bilgi: y = f(x) fonksiyonunun grafiği kullanılarak y = k . f(x) fonksiyonunun grafiği elde edilirken fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar değişmez.

Bilgi: y = f(x) fonksiyonunun grafiği kullanılarak y = f(kx) fonksiyonunun grafiği oluşturulurken fonksiyonun y eksenini kestiği noktalar değişmez. Değişim tanım kümesinde olur.

Bilgi: y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği elde edilirken f(x) fonksiyonunun grafiğinde x ekseninin altında kalan (fonksiyonun negatif değerler aldığı) kısımların x eksenine göre simetriği alınır.