Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları 9. sınıf


Kategoriler: 9. Sınıf Matematik, Mantık, Matematik

Her bilim dalının kendine özgü anlamlar içeren sözcükleri dolayısıyla kendine özgü bir dili vardır. Bu dil, günlük yaşamımızda kullandığımız dilden ayrılır. Bu özel anlam içeren sözcüklere terim denir. Terim, tanımlı ve tanımsız terimler olmak üzere iki türlüdür. Biz bu kısımda matematik dilinin önemli kavramlarından tanım, aksiyon, teorem ve ispat kavramlarına değineceğiz.

Tanım: Bir terimi anlamları daha önceden bilinen terimler yardımıyla ifade etmeye tanım denir. İyi bir tanım, tanımlı ve tanımsız terimlerden yararlanmalı, herkes için açık, anlaşılır ve tutarlı olmalı, aynı türden kavramları kapsamalı, aynı türden olmayan kavramları dışarıda bırakmalıdır.



Örnek: Aşağıdaki terimlerin tanımlarını yapıp inceleyelim.
a. Işın  b. Çember  c. Rakam

Çözüm:
a. “Işın: Başlangıç noktası belli olan ve o noktadan sonsuza doğru uzanan noktalar kümesidir.” Bu tanımda geçen nokta, sonsuz ve küme kavramları yine birer terimdir.
b. “Çember: Düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir.” Burada da düzlem, nokta, eşitlik, uzaklık ve küme kavramları birer terimdir.
c. “Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir.” Bu tanımda geçen sayı, sembol yine birer terimdir.

Aksiyom: Mantık ve matematikte teorem ispatında öncül işlevi gören, doğruluğu açık ve seçik olarak belirli olan ve bu nedenle ispatına gerek duyulmayan önermelere aksiyom denir.

Örnek: Aşağıda aksiyom örnekleri verilmiştir. İnceleyiniz.
a. İki farklı noktadan yalnız bir doğru geçer.
b. Tüm dik açıların ölçüleri birbirine eşittir.
c. Aynı düzlemde kesişmeyen doğrular paraleldir.
ç. Bir doğal sayının ardışığı da doğal sayıdır.



Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Bir teoremin verilen kısmına hipotez (varsayım), ispatlanacak olan kısmına hüküm (yargı) denir. Bir teoremin hipotezinden hareketle hükmünün doğru olduğunu göstermeye teoremi ispatlamak denir.
p ⇒ q, bir teorem ise p, teoremin hipotezi, q ise hükmüdür.

Örnek: “İki tek sayının çarpımı tek sayıdır.” teoreminin hipotez ve hükmünü belirtip ifade edelim.
Çözüm: Teoremler p⇒q biçiminde olmalıdır. O hâlde hipotez p: “a ve b tek sayıdır.”
Hüküm q: “a · b tek sayıdır.” olur. Buradan teorem p⇒q: ” a ve b tek sayı ise a · b tek sayıdır.”
şeklinde ifade edilir.

Tümevarım Yöntemi

p(n) açık önermesi için

1. adım: p(1) önermesinin doğru olduğu gösterilir.
2. adım: p(k) önermesinin doğru olduğu kabul edilir. (k ∈ N+)
3. adım: p(k + 1) önermesinin doğru olduğu gösterilir.

Doğrudan İspat Yöntemip ⇒ q teoreminde p nin doğru olduğu kabul edilerek q nun da doğru olduğu adım adım gösteriliyorsa buna doğrudan ispat yöntemi denir.



Olmayana Ergi Yöntemi (Karşıt Ters): Bir teoremin karşıt tersinin ispatlanması yöntemine olmayana ergi yöntemi denir.

Aksine Örnek Yöntemi: Önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir değer bularak önermenin yanlış olduğunu ispatlamaya aksine örnek yöntemi
denir.

Çelişki Yöntemi: Bir teoremde hükmün olumsuzundan hareket edilerek çelişki elde etme yöntemine çelişki yöntemi denir.

Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları Çözümlü Sorular

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir. İçerisinde x gibi tek değişken bulunduran bir açık önerme p(x), q(x), ... ile x ve y gibi iki değişken bulunduran bir açık önerme ise p(x, y), q(x, y), ... biçiminde gösterilir.

Örnek: Aşağıda niceleyici içeren açık önermeleri sembolik mantık diliyle ifade edip doğru olup olmadıklarını inceleyelim.
a. Her tam sayının karesi sıfırdan büyüktür.
b. Bazı asal sayılar çifttir.
Çözüm: a. "Her" sözcüğü bulunduğundan, 6 sembolü kullanmalıyız. Değişken olarak da x i kullanırsak bu açık önerme;
p(x): "6 x tam sayısı için x 2>0" şeklinde yazılır. 0 bir tam sayı olmak üzere 02>0 ifadesi doğru değildir. Sıfır hariç tüm tam sayıların karesi 0 dan büyük olmasına rağmen bir eleman için yanlış olduğundan bu açık önerme yanlıştır, çünkü her niceleyicisi içeren açık önermelerin doğru olması için tüm elemanlar için açık önerme doğru olmalıdır.
b. "Bazı" sözcüğü bulunduğundan, 7 sembolü kullanmalıyız. Bu durumda açık önerme,
p(x): "7x asal sayısı için x = 2k, k bir doğal sayı" şeklinde ifade edilebilir.
k=1 için x=2·1
x=2 bir asal sayıdır. Dolayısıyla 2 asal sayı ve çift olduğundan bu önerme doğrudur. Yani en az niceleyicisi içeren bir açık önerme, bir eleman için bile doğru oluyorsa bu önerme doğrudur. Çünkü en az niceleyicisi en az bir anlamına gelir.

Temel Yeterlilik Sınavı (TYT)
20 Haziran 2020 Cumartesi