Üçgenlerde Benzerlik 9. Sınıf

Benzer iki üçgende orantılı kenarlara ait yüksekliklerin, kenarortayların oranı benzerlik oranına eşittir. Benzer iki üçgende eşit açılara ait açıortayların oranı benzerlik oranına eşittir. Benzer iki üçgende çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir. İki üçgenin köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler denir.

Şekilde verilen ABC üçgeni, fotokopi makinesinde küçültüldüğünde |BC| kenarının uzunluğu 10 cm olduğuna göre, |AC| kenarının yeni uzunluğunu bulalım: ABC üçgeni ile fotokopisi birbirine benzerdir. Fotokopideki |AC| kenarının uzunluğuna x deyip, benzerlik oranını yazarsak; x = 6 cm bulunur.

Açı - Açı [A. A.] Benzerlik Kuralı: İki üçgen arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer açısının ölçüleri eşit ise bu iki üçgen benzerdir. Bu benzerliğe Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralı denir. İki üçgenin karşılıklı ikişer açıları eşit ise üçüncü açıları da eşittir. Eşit açıların karşısındaki kenarları oranlayarak benzerlik oranını yazabiliriz.

Tales Teoremi: Birbirine paralel en az üç doğru, verilen iki doğruyu kestiğinde bu iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.

Kenar - Açı - Kenar [K. A. K.] Benzerlik Kuralı: İki üçgen arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu üçgenler benzerdir. Bu benzerliğe Kenar - Açı - Kenar (K.A.K.) benzerlik kuralı denir.

Kenar - Kenar - Kenar [K. K. K.] Benzerlik Kuralı: İki üçgen arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Bu benzerliğe Kenar - Kenar - Kenar (K.K.K.) benzerlik kuralı denir.

Soru: Şekilde yere dik olan iki ağacın gölgesinin uçları aynı noktaya gelmektedir. Uzunluğu 3 m olan ağacın gölgesinin boyu 0,6 m ve iki ağaç arasındaki uzaklık 0,9 m dir. Buna göre, uzunluğu x olan ağacın boyu kaç m dir?

Tarihçe:

Üçgenlerde benzerlik teoremi, antik Yunan matematikçisi Euclid'in "Elements" (Öğeler) adlı eserinde detaylı bir şekilde açıklanmıştır. Euclid, M.Ö. 300 civarında yaşamıştır ve bu eseriyle geometrinin temellerini atmıştır. Euclid'in çalışmaları, matematiksel düşünce ve ispat yöntemleri konusunda önemli bir temel oluşturmuştur.

Bu teorem daha sonra İslam dünyasında, özellikle de İslam Altın Çağı'nda (8. yüzyıl ile 14. yüzyıl arası), matematiksel çalışmaların zirveye ulaştığı bir dönemde daha da geliştirilmiştir. İslam matematikçileri, Euclid'in eserlerini çevirip üzerine kendi çalışmalarını ekleyerek matematik alanında büyük ilerlemeler kaydetmişlerdir.

Rönesans dönemiyle birlikte, antik Yunan ve İslam matematiksel mirası Avrupa'da tekrar keşfedilmiş ve geometri konusundaki bu temel teorem de modern matematik eğitiminin bir parçası haline gelmiştir. Bugün, üçgenlerde benzerlik teoremi, geometri derslerinin vazgeçilmez bir konseptidir.