- Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
- İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
- Fonksiyonların Dönüşümleri
1. Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
A) f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile ilgili uygulamalar
B) Fonksiyonun x-eksenini Kestiği Noktalar
Bir k gerçek sayısı için f(k) = o oluyorsa k sayısına f fonksiyonunun kökü (sıfırı) denir.
Örneğin; f(x) = 2x – 6 fonksiyonunun köklerini bulalım.
f(x) = 0
2x – 6 = 0 ise x = 3
f(3) = 0 olduğundan fonksiyonun kökü 3 tür.
Dikkat: Bir f(x) fonksiyonunun kökleri (sıfırları) aynı zamanda fonksiyon grafiğinin x-eksenini kestiği noktalardır.
Örneğin; f(x) = 3x + 15 fonksiyonu x eksenini;
3x + 15 = 0 ⇒ x = -5 olduğundan x = -5 için keser.
Dikkat: Bir f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini kesmiyorsa f(x) fonksiyonunun sıfırlayanı yoktur. Bundan dolayı
f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi de boş kümedir.
C) Fonksiyonun y-eksenin Kestiği Noktalar
Bir f(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta x = 0 için (yani f(0)) bulunur.
f(x) fonksiyonunun;
- x eksenini kestiği nokta (d, 0)
- y eksenini kestiği nokta (0, a)
şeklindedir.
Örneğin; f(x) = x2 + 5x + 7 fonksiyonunun y eksenini kestiği noktayı bulalım.
x = 0 için f(0) = 7 olur.
Dikkat: Bir f(x) fonksiyonu için;
f(0) = 0
oluyorsa “fonksiyon orjinden geçiyor” demektir.
Örnek:
Örnek:
D) Fonksiyonun Pozitif veya Negatif Olması
Bir fonksiyon grafiğinde;
- Grafiğin x ekseninin üstünde olduğu aralıktaki x değeri için fonksiyon pozitif değerlidir.
- Grafiğin X ekseninin altında olduğu aralıktaki x değerleri için fonksiyon negatif değerlidir.
Örnek:
E) Fonksiyonun Artan ve Azalan Olması
Bir f(x) fonksiyonunun tanım aralığındaki her x1 ve x2 değeri için;
- x1 < x2 için f(x1) < f(x2) oluyorsa fonksiyon artandır.
- x1 < x2 için f(x1) > f(x2) oluyorsa fonksiyon azalandır.
Örnek:
Örnek:
Örnek:
Örnek:
F) Fonksiyonun Maksimum ve Minimum (En Büyük ve En Küçük) Değeri
f: A → B ve f(x) bir fonksiyon olsun.
- xm ∈ A olmak üzere A kümesindeki bütün x elemanları için,
f(xm) > f(x)
oluyorsa f(xm) fonksiyonun maksimum (en büyük) değeridir. - xn ∈ A olmak üzere A kümesindeki bütün x elemanları için;
f(xn) < f(x)
oluyorsa f(xn) fonksiyonun minimum (en küçük) değeridir. Örneğin;
Şekilde verilen f(x) fonksiyonunun grafiğinde tanım kümesindeki her x değeri için f(x) in [-4, 3] aralığında değer aldığını görüyoruz. f(x) in;
- maksimum değeri = 3
- minimum değeri = -4
2. Ortalama Değişim Hızı
A) Ortalama Değişim Hızı
Dikkat:
- Ortalama değişim hızının negatif veya pozitif çıkması sadece değişimin yönünü gösterir.
- Ortalama değişim hızı mutlak değerce ne kadar büyükse değişim hızı da o kadar büyüktür.
B) Doğrusal Fonksiyonlarda Ortalama Değişim Hızı
Örnek:
3. Parabol ve Parabol Çizimi
A) Parabol
Örnek:
Örnek:
Örnek:
B) Grafik Çizimi
1) f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiği
f(x) = ax2 ifadesi;
f(x) = a(x – 0)2 + 0 olduğundan tepe noktası (0, 0) olur.
Yani f(x) = x2 gibi fonksiyonların grafikleri daima orjinden geçer. Bu fonksiyonda x için verilecek değerlere karşılık f(x) in değerleri bulunur.
Örnek:
Örnek:
2. f(x) = ax2 + k fonksiyonunun grafiği
f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni üzerinde
- pozitif yönde k birim öteleyerek ax2 + k
- negatif yönde k birim öteleyerek ax2 – k
fonksiyonunun grafiği elde edilir.
Örnek:
3. f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiği
- f(x – r) fonksiyonunun grafiği, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde r birim pozitif yönde ötelenmesi ile
- f(x + r) fonksiyonunun grafiği, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde r birim negatif yönde ötelenmesi ile elde edilir.
O halde f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiğinde f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiğinin r birim pozitif yönde ötelenmesiyle elde edilir.
Dikkat: f(x)=a.(x-r)2+k
parabolünün tepe noktası koordinatlarının yani (r, k) nın bulunması ile de grafik çizilebilir. Burada f(x) = a(x – r)2 olduğundan k = 0 olur.
Dikkat: Bir parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x = 0 yazılabilir.
Örnek:
4. f(x) = a.(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiği
f(x) = a.(x – r)2 + k grafiği f(x) fonksiyonunun grafiğinin
- x ekseni üzerinde pozitif yönde r kadar
- y ekseni üzerinde pozitif yönde k kadar
ötelemesi ile elde edilir.
Örnek:
C) Tepe Noktası
Örnek:
4. Simetri Ekseni – En Büyük ve En Küçük Değer
A) Simetri Ekseni
Örnek:
B) En Büyük ve En Küçük Değer (Maksimum ve Minimum)
Örnek:
Örnek:
Örnek:
Örnek:
5. f(x) = ax2+bx+c Formunda Verilen Paraboller
A) f(x) = ax2+bx+c parabolünün grafiği
Örnek:
B) x Eksenini Kesme Durumu
C) y Eksenini Kesme Durumu
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu için
- f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta (O, c) noktasıdır.
- f(x) = ax2 + c fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta (0, c) noktası olup, bu nokta aynı zamanda fonksiyonun tepe noktası koordinatıdır.
Örnek:
Örnek:
D) Katsayı İlişkileri
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunda a, b, c katsayılarının işaretleri incelenirken;
- a nın işareti, kolların aşağı veya yukarı yönlü oluşana göre
- b nin işareti, T(r, k) noktasındaki r ye göre
- c nin işareti, y eksenini kestiği yere göre değerlendirilir.
Örnek:
6. Parabolün Fonksiyonunu Bulma, Grafiklerin Kesişimi
A) Tepe Noktası ve Bu nokta Dışında Başka Bir Noktası Belli Olan Paraboller
Örnek:
B) x Eksenin Kestiği Noktalar ve Bu Noktalar Dışında Başka Bir Noktası Belli Olan Paraboller
Bir parabol x eksenini (x1, 0) ve (x2, 0) noktalarında kesiyorsa fonksiyon
f(x) = a. (x – x1) . (x – x2) şeklindedir. Parabolün geçtiği diğer noktada kullanılarak a bulunur.
Örnek:
Örnek:
C) Birbirinden Farklı Herhangi Üç Noktası Belli Olan Paraboller
Örnek:
D) Parabol İle Doğrunun Kesişimi
7. Dönüşümler, Tek – Çift Fonksiyon
A) Dönüşümler
Örnek:
Örnek:
Örnek:
Örnek:
B) Tek ve Çift Fonksiyonlar
Örnek:
Örnek:
Örnek: