Anlık Değişim Oranı ve Türev 12. Sınıf

Türev, 12. sınıf matematik müfredatında yer almakta olup lys matematik sınavında bu konudan soru gelmektedir.

Türev konu başlıkları;

• Bir noktadaki türev
• Sağdan ve soldan türev
• Bir aralıkta türevlenebilme
• Türev alma kuralları (Sabit fonksiyonun türevi, x üzeri n fonksiyonun türevi, iki fonksiyonun toplam ve farkının türevi, iki fonksiyonun çarpım ve bölümünün türevi, bileşke fonksiyonun türevi, trigonometrik fonksiyonların türevi, mutlak değer fonksiyonun türevi, kapalı fonksiyonların türevi, parametrik fonksiyonların türevi, ters fonksiyonun türevi, ters trigonometrik fonksiyonların türevi, logaritma fonksiyonun türevi, üstel fonksiyonun türevi, yüksek mertebeden türev)
• Diferansiyel kavramı
• Türevin fiziksel yorumu
• Türevin geometrik yorumu
• Artan ve azalan fonksiyonlar
• Ekstremum noktaların bulunması
• Bir fonksiyonun konveksliği, konkavlığı ve dönüm noktası
• Maksimum ve minimum problemleri
• Grafik çizimleri (Yatay ve Düşey asimptotlar, eğik ve eğri asimptotlar)
• L'Hospital kuralı yardımıyla limit alma

Türev Kavramı: Bir y = f(x) fonksiyonunda x bağımsız değişken, y = f(x) bağımlı değişkendir. f(x) fonksiyonunun bağımsız değişkeninin a değeri ile b değeri arasında fonksiyonun ortalama değişim hızı (f(b) - f(a)) / (b - a) olur. f(x)fonksiyonunun bağımsız değişkeninin a değeri için fonksiyonun anlık değişim oranı lim x a ya yaklaşırken (f(x) - f(a)) / (x - a) olur. Yani bir fonksiyonun bağımlı değişkendeki değişimin, bağımsız değişkendeki değişimine oranının limitine anlık değişim oranı denir. Anlık değişim oranı aynı zamanda x = a daki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimidir.

Bir fonksiyonun anlık değişim oranına fonksiyonun türevi denir. Yani kısaca lim x a ya yaklaşırken (f(x) - f(a)) / (x - a) limit değeri (eğer varsa), f(x) fonksiyonun x = a noktasındaki türevidir ve fonksiyona x = a noktasından çizilen teğetin eğimini verir. f(x) in x = a noktasındaki türevi f'(a) şeklinde gösterilir.

Soru: Sedat bir kitabı okumaya başladıktan sonra kaçıncı dakikaya kadar, kaç kitap okuduğunu grafikle göstermiştir. Buna göre, kitap okurken Sedat'ın
a) 6. saatin sonuna kadar ortalama kitap okuma hızı kaç sayfadır.?
b) 3. ile 6. saatler arasındaki ortalama kitap okuma hızı kaç sayfadır?
Çözüm: a) Ortalama değişim hızı formülünde değerleri yerine yazarsak 18-0 / 6-0 dan sonuç 3 bulunur.
b) Formülde yerine yazarsak 18-12 / 6-3 = 2 bulunur.

Soru: Daire şeklinde hamuru olan bir pizza sıcak fırına bırakılıyor. Pizza fırına bırakıldıktan sonra pişen pizzanın yarıçapı saniyede 0,2 cm artıyor. Buna göre pizzanın yarıçapının 10 cm olduğu anda pizzanın alanındaki anlık değişim oranı kaç cm2/sn olur?
Çözüm: Yarıçapın zamana göre anlık değişim oranı dr/dt = 0,2 cm
Alan = y = pi.r2 olmak üzere alanın yarıçapa göre anlık değişim oranı dy/dr dir. Zincir kuralını uygularsak dy/dt = 4pi bulunur.