Birbiriyle temas hâlinde olan yüzeyler arasında, cisimlerin birbirine göre kaymasını zorlaştıran, engelleyen veya hareketi yavaşlatan direnç etkisine sürtünme kuvveti denir.

Makro ölçekte son derece pürüzsüz görünen yüzeyler dahi mikroskobik ölçekte girintili ve çıkıntılı yapılara (tümseklere) sahiptir. Bu tümseklerin birbirine takılması ve temas noktalarındaki atom/moleküller arasında oluşan elektriksel etkileşimler (mikro kaynaklar), sürtünme kuvvetinin temel nedenidir.

1. Statik ve Kinetik Sürtünme Kuvvetleri

Sürtünme kuvveti, cismin hareket durumuna bağlı olarak statik ve kinetik olmak üzere iki farklı aşamada incelenir:

Statik Sürtünme Kuvveti ($\vec{f}_s$)

• Temas hâlindeki yüzeyler arasında henüz bağıl hareket (kayma) yokken cisme etki eden sürtünme kuvvetidir.

• Cisme uygulanan çekme/itme kuvveti belirli bir eşik değere ulaşana kadar cisim hareketsiz kalır.

• Cisim hareketsiz kaldığı sürece statik sürtünme kuvvetinin büyüklüğü sabit değildir; uygulanan dış kuvvete büyüklükçe eşit ve zıt yönlüdür.

• Statik sürtünme kuvveti, yüzeylerin dayanabileceği bir tepe değerine ($f_{s(\text{maks})}$) kadar artabilir. Bu değer aşıldığı an cisim kaymaya başlar.

Kinetik Sürtünme Kuvveti ($\vec{f}_k$)

• Cisim kaymaya başladıktan sonra, hareket süresince yüzey ile cisim arasında oluşan sürtünme kuvvetidir.

• Kinetik sürtünme kuvveti, cismin hız büyüklüğünden ve temas yüzey alanından neredeyse bağımsız olup hareket boyunca sabit kabul edilir.

• Durağan bir cismi harekete geçirmek, hareket eden bir cismin hareketini sürdürmekten daha zordur. Bu nedenle aynı yüzeyler arasında statik sürtünmenin maksimum değeri, kinetik sürtünme kuvvetinden daima daha büyüktür ($f_{s(\text{maks})} > f_k$).

2. Sürtünme Kuvvetinin Matematiksel Modelleri

Deneysel veriler, sürtünme kuvvetinin büyüklüğünün yüzeye dik olan normal kuvvet ($N$) ile doğru orantılı olduğunu gösterir:

Statik Sürtünme Modeli

Statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete göre değiştiğinden bağıntı eşitsizlik olarak yazılır:

Statik sürtünmenin alabileceği en büyük (maksimum) değer:

Kinetik Sürtünme Modeli

Kayan bir cisim için kinetik sürtünme kuvveti sabittir:

• $k_s$ (Statik sürtünme katsayısı): Temas eden yüzeylerin cinsine bağlı, birimsiz bir katsayıdır.

• $k_k$ (Kinetik sürtünme katsayısı): Hareket hâlindeki yüzey özelliklerine bağlı, birimsiz bir katsayıdır. Daima $k_s > k_k$ ilişkisi geçerlidir.

• $N$ (Normal kuvvet): Temas yüzeyinin cisme uyguladığı dik tepki kuvvetidir ($\text{Newton}$).

3. Sürtünme Kuvveti – Uygulanan Kuvvet Grafiği

Yatay bir düzlemde duran cisme uygulanan yatay kuvvet ($F$) sıfırdan başlanarak artırıldığında sürtünme kuvvetinin değişimi aşağıdaki gibi olur:

 Sürtünme Kuvveti (f)
       ^
f_s(maks)|       /|
         |      / |
     f_k |-----/  +----------------- (Kinetik Bölge)
         |    /|  |
         |   / |  |
         |  /  |  |
         | / θ |  |
       0 +-----+--+------------------> Uygulanan Kuvvet (F)
         |<Statik>|
          Bölge

1. Statik Bölge ($F \le f_{s(\text{maks})}$): Cisim hareketsizdir. Bu aralıkta sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete birebir eşittir ($f_s = F$). Doğrunun eğimi daima $1$‘dir ($\tan\theta = 1 \implies \theta = 45^\circ$).

2. Kırılma Noktası ($F = f_{s(\text{maks})}$): Cismin harekete geçmek üzere olduğu kritik eşiktir.

3. Kinetik Bölge ($F > f_{s(\text{maks})}$): Cisim ivmeli kayma hareketine başlar. Sürtünme aniden bir miktar düşerek sabit $f_k$ değerini alır ve uygulanan kuvvet artsa dahi değişmez.

4. Eğik Düzlemde Sürtünme ve Katsayı Tayini

Yatayla $\theta$ açısı yapan pürüzlü bir eğik düzlemde $m$ kütleli cisim için:

• Ağırlığın yüzeye dik bileşeni normal kuvveti belirler: $N = mg \cdot \cos\theta$.

• Ağırlığın yüzeye paralel kaydırıcı bileşeni: $F_{\text{kaydırıcı}} = mg \cdot \sin\theta$.

Sürtünme Katsayılarının Belirlenmesi:

• Düzlemin eğim açısı kademeli olarak artırıldığında cismin tam kaymaya başladığı kritik açı $\theta_1$ ise sınır dengede $mg \cdot \sin\theta_1 = k_s \cdot mg \cdot \cos\theta_1$ olur. Buradan:

  $$k_s = \tan\theta_1$$

• Cisim kaymaya başladıktan sonra eğim açısı bir miktar azaltılarak cismin sabit hızla kayması sağlanan açı $\theta_2$ olarak ölçülürse ($F_{\text{net}} = 0 \implies mg \cdot \sin\theta_2 = k_k \cdot mg \cdot \cos\theta_2$):

  $$k_k = \tan\theta_2$$

5. Günlük Hayatta ve Biyolojide Sürtünme

• Yürüme ve Koşma: Adım atarken ayak tabanı geriye doğru itildiğinde zeminin ayağa uyguladığı statik sürtünme kuvveti ileri yönlüdür ve hareketi mümkün kılar.

• Dönerek Öteleme: Hızlanan bir otomobil veya bisikletin çekiş tekerleğine zemin tarafından uygulanan sürtünme kuvveti hareket yönündedir. Fren yapıldığında ise sürtünme harekete zıt yöne dönerek aracı yavaşlatır.

• Biyolojik Sistemler: İnsan vücudunda eklem yüzeyleri pürüzsüz kıkırdak dokuyla kaplıdır ve eklem boşluğundaki sinovyal sıvı sürtünme katsayısını $0{,}003$ gibi çok düşük değerlere düşürerek aşınmayı önler. Benzer şekilde yutmayı kolaylaştıran tükürük ve organ zarları arasındaki mukus sıvıları doğal sürtünme azaltıcılardır.

Çözümlü Test Sorusu

Soru 1

Yatay düzlemde durmakta olan $4\text{ kg}$ kütleli bir kutu ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısı $k_s = 0{,}5$, kinetik sürtünme katsayısı $k_k = 0{,}4$‘tür.

Kutuya yatay doğrultuda sırasıyla $12\text{ N}$ ve $25\text{ N}$ büyüklüğünde kuvvetler uygulandığında kutuya etki eden sürtünme kuvvetleri kaçar $\text{N}$ olur? ($g = 10\text{ m/s}^2$)

A) $12\text{ N}$ ve $16\text{ N}$

B) $12\text{ N}$ ve $20\text{ N}$

C) $20\text{ N}$ ve $16\text{ N}$

D) $16\text{ N}$ ve $16\text{ N}$

E) $20\text{ N}$ ve $25\text{ N}$

Çözüm:

1. Normal kuvvet: $N = m \cdot g = 4 \cdot 10 = 40\text{ N}$

2. Statik sürtünmenin maksimum değeri:

   $$f_{s(\text{maks})} = k_s \cdot N = 0{,}5 \cdot 40 = 20\text{ N}$$

3. Kinetik sürtünme kuvveti:

   $$f_k = k_k \cdot N = 0{,}4 \cdot 40 = 16\text{ N}$$

• $F_1 = 12\text{ N}$ uygulandığında: $F_1 < f_{s(\text{maks})}$ ($12 < 20$) olduğundan cisim hareket etmez. Statik bölgede sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşittir: $f_s = 12\text{ N}$.

• $F_2 = 25\text{ N}$ uygulandığında: $F_2 > f_{s(\text{maks})}$ ($25 > 20$) olduğundan statik engel aşılır ve cisim kaymaya başlar. Cisme artık kinetik sürtünme etki eder: $f_k = 16\text{ N}$.

Doğru Cevap: A

Soru 2

Yatayla $37^\circ$ açı yapan sürtünmeli eğik düzlem üzerinde bulunan $5\text{ kg}$ kütleli bir cisim serbest bırakılıyor. Cisim ile eğik düzlem yüzeyi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $k_k = 0{,}25$‘tir.

Buna göre cismin eğik düzlemden aşağıya doğru kayma ivmesi kaç $\text{m/s}^2$‘dir?

($g = 10\text{ m/s}^2$; $\sin 37^\circ = 0{,}6$; $\cos 37^\circ = 0{,}8$)

A) $2$

B) $3$

C) $4$

D) $5$

E) $6$

Çözüm:

1. Ağırlığın bileşenleri:

   • Yüzeye paralel kaydırıcı kuvvet: $G_x = mg \cdot \sin 37^\circ = 5 \cdot 10 \cdot 0{,}6 = 30\text{ N}$

   • Yüzeye dik bileşen: $G_y = mg \cdot \cos 37^\circ = 5 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 40\text{ N}$

2. Yüzeyin normal kuvveti: $N = G_y = 40\text{ N}$

3. Kinetik sürtünme kuvveti:

   $$f_k = k_k \cdot N = 0{,}25 \cdot 40 = 10\text{ N}$$

4. Net kuvvet ve ivme:

   $$F_{\text{net}} = G_x – f_k = 30 – 10 = 20\text{ N}$$
   $$F_{\text{net}} = m \cdot a \implies 20 = 5 \cdot a \implies a = 4\text{ m/s}^2$$

Doğru Cevap: C

Soru 3

Sürtünmeli yatay bir yolda durmakta olan $10\text{ kg}$ kütleli bir sandığa yatayla $37^\circ$ açı yapacak şekilde yukarıya doğru $50\text{ N}$ büyüklüğünde bir çekme kuvveti uygulanıyor. Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $k_k = 0{,}2$‘dir.

Buna göre sandığın ivmesi kaç $\text{m/s}^2$‘dir?

($g = 10\text{ m/s}^2$; $\sin 37^\circ = 0{,}6$; $\cos 37^\circ = 0{,}8$)

A) $1{,}8$

B) $2{,}6$

C) $3{,}0$

D) $3{,}4$

E) $4{,}0$

Çözüm:

1. Kuvvetin dik bileşenleri:

   • $F_x = F \cdot \cos 37^\circ = 50 \cdot 0{,}8 = 40\text{ N}$ (hareket doğrultusunda)

   • $F_y = F \cdot \sin 37^\circ = 50 \cdot 0{,}6 = 30\text{ N}$ (düşey yukarı)

2. Cismin ağırlığı: $G = mg = 10 \cdot 10 = 100\text{ N}$

3. Düşey eksende denge kurularak normal kuvvet bulunur:

   $$N + F_y = G \implies N + 30 = 100 \implies N = 70\text{ N}$$

4. Kinetik sürtünme kuvveti:

   $$f_k = k_k \cdot N = 0{,}2 \cdot 70 = 14\text{ N}$$

5. Yatay net kuvvet ve ivme:

   $$F_{\text{net}} = F_x – f_k = 40 – 14 = 26\text{ N}$$
   $$F_{\text{net}} = m \cdot a \implies 26 = 10 \cdot a \implies a = 2{,}6\text{ m/s}^2$$

Doğru Cevap: B

Soru 4

Kütlesi $2\text{ kg}$ olan bir tahta blok, düşey bir duvara dik olarak uygulanan $40\text{ N}$ büyüklüğündeki yatay $\vec{F}$ kuvvetiyle bastırılarak dengede tutulmaktadır. Blok ile düşey duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı $k_s = 0{,}6$‘dır.

Buna göre duvarın bloka uyguladığı sürtünme kuvveti kaç $\text{N}$ büyüklüğündedir? ($g = 10\text{ m/s}^2$)

A) $12$

B) $20$

C) $24$

D) $30$

E) $40$

Çözüm:

1. Duvarın cisme uyguladığı normal kuvvet, duvara dik basan kuvvete eşittir:

   $$N = F = 40\text{ N}$$

2. Statik sürtünme kuvvetinin alabileceği en büyük değer:

   $$f_{s(\text{maks})} = k_s \cdot N = 0{,}6 \cdot 40 = 24\text{ N}$$

3. Cismin aşağı kaymasını isteyen yer çekimi kuvveti (ağırlık):

   $$G = mg = 2 \cdot 10 = 20\text{ N}$$

Statik sürtünmenin maksimum kapasitesi ($24\text{ N}$), cismin ağırlığından ($20\text{ N}$) büyük olduğu için cisim aşağı kaymaz. Denge durumunda statik sürtünme kuvveti net kuvveti sıfırlayacak kadar, yani tam olarak ağırlık büyüklüğünde oluşur:

Doğru Cevap: B

Soru 5

Sürtünmeli yatay bir masa üzerinde duran $3\text{ kg}$ kütleli $K$ cismi, sürtünmesiz bir makaradan geçen iple $2\text{ kg}$ kütleli $L$ cismine bağlanmıştır. Masa ile $K$ cismi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $k_k = 0{,}3$‘tür.

Sistem serbest bırakıldığında cisimleri birbirine bağlayan ipteki gerilme kuvveti ($T$) kaç $\text{N}$ olur? ($g = 10\text{ m/s}^2$; ip kütlesi önemsizdir.)

A) $9$

B) $11$

C) $13{,}2$

D) $15{,}6$

E) $18$

Çözüm:

1. $K$ cismine etki eden kinetik sürtünme kuvveti:

   • $N_K = m_K \cdot g = 3 \cdot 10 = 30\text{ N}$

   • $f_k = k_k \cdot N_K = 0{,}3 \cdot 30 = 9\text{ N}$

2. Sistemi harekete geçiren net kuvvet ($L$ cisminin ağırlığı eksi sürtünme):

   • $G_L = m_L \cdot g = 2 \cdot 10 = 20\text{ N}$

   • $F_{\text{net}} = G_L – f_k = 20 – 9 = 11\text{ N}$

3. Sistemin ivmesi:

   $$F_{\text{net}} = (m_K + m_L) \cdot a \implies 11 = (3 + 2) \cdot a \implies a = \frac{11}{5} = 2{,}2\text{ m/s}^2$$

4. $K$ cismi için yatay eksende serbest cisim diyagramı denklemi:

   $$T – f_k = m_K \cdot a \implies T – 9 = 3 \cdot 2{,}2 \implies T – 9 = 6{,}6 \implies T = 15{,}6\text{ N}$$

   (Aynı hesap aşağı yönlü hızlanan $L$ için: $G_L – T = m_L \cdot a \implies 20 – T = 2 \cdot 2{,}2 \implies T = 15{,}6\text{ N}$)

Doğru Cevap: D