İki boyutta sabit ivmeli hareket; bir cismin hem yatay ($x$) hem de düşey ($y$) eksende aynı anda hareket etmesi durumudur.

Bu konunun temel mantığı hareketlerin bağımsızlığı ilkesine dayanır:

• Yatay eksende ($x$): Hava sürtünmesi önemsenmediğinde yatay doğrultuda cisme hiçbir net kuvvet etki etmez ($F_x = 0 \implies a_x = 0$). Dolayısıyla cisim yatayda Sabit Hızlı Hareket yapar.

• Düşey eksende ($y$): Cisme yalnızca yer çekimi kuvveti (ağırlık) etki eder ($F_y = mg \implies a_y = g$). Dolayısıyla cisim düşeyde Sabit İvmeli Hareket (serbest düşme veya düşey atış) yapar.

Bu iki ekseni birbirine bağlayan tek ortak değişken zaman ($t$) parametresidir.

1. Yatay Atış Hareketi

Belirli bir $h$ yüksekliğinden yatay doğrultuda $\vec{v}_0$ ilk hızıyla fırlatılan bir cismin yaptığı harekettir.

       v₀ ---->
   +-------+
   |       \
   |        \
 h |         \
   |          \
   +-----------*--->
   |<-   x   ->|

A. Eksenlerin İncelenmesi

1. Düşey Eksen ($y$):

   • İlk düşey hız sıfırdır ($v_{0y} = 0$).

   • Cisim düşeyde tamamen Serbest Düşme hareketi yapar.

   • Düşüş süresi ($t$):

     $$h = \frac{1}{2}gt^2$$

   • Herhangi bir andaki düşey hız:

     $$v_y = g \cdot t$$

2. Yatay Eksen ($x$):

   • Yatay hız hareket boyunca değişmez ve sabittir:

     $$v_x = v_0$$

   • Yatayda alınan yol (Menzil):

     $$x = v_0 \cdot t$$

3. Herhangi Bir Andaki Bileşke Hız ($v$):

   $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

Önemli Not: Yatay atılan cismin yere düşme süresi ($t$), yatay ilk hızı olan $v_0$‘a kesinlikle bağlı değildir; yalnızca bırakıldığı $h$ yüksekliğine ve yer çekimi ivmesine ($g$) bağlıdır.

2. Eğik Atış Hareketi

Yatay düzlemle $\alpha$ açısı yapacak şekilde $v_0$ ilk hızıyla fırlatılan cismin yaptığı parabolik harekettir.

            v_tepe = v_0x
                 • (h_maks)
             /       \
     v₀    /           \
     ^   /               \
     | /                  \
   (α)/                     \
  ---+-----------------------+--->
     |<------- x_menzil ------>|

A. Hız Bileşenlerinin Ayrılması

Harekete başlamadan önce atış hızı mutlaka dik bileşenlerine ayrılır:

• Yatay hız bileşeni:

  $$v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha$$

  (Sabittir, hareket boyunca hiç değişmez)

• Düşey hız bileşeni:

  $$v_{0y} = v_0 \cdot \sin\alpha$$

B. Hareketin Aşamaları ve Formüller

1. Çıkış ve İniş Süresi:

   Cisim tepe noktasına ulaştığında düşey hızı anlık olarak sıfırlanır ($v_y = 0$).

   • Çıkış süresi:

     $$t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$$

   • Uçuş süresi (aynı seviyeye düşüyorsa):

     $$t_{\text{uçuş}} = 2 \cdot t_{\text{çıkış}} = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$$

2. Maksimum Yükseklik ($h_{\text{maks}}$):

   Tepe noktasında düşey hız sıfırdır, cismin sadece yatay hızı ($v_{0x}$) vardır:

   $$h_{\text{maks}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \cdot \sin\alpha)^2}{2g}$$

3. Yatay Menzil ($x_{\text{menzil}}$):

   Yatayda alınan toplam yol sabit hızlı hareket bağıntısıyla bulunur:

   $$x_{\text{menzil}} = v_{0x} \cdot t_{\text{uçuş}}$$

3. Önemli Özellikler ve Püf Noktaları

1. Maksimum Menzil Açısı:

   Sürtünmesiz ortamda aynı $v_0$ büyüklüğündeki hızla atılan bir cismin en uzağa gidebilmesi için fırlatma açısının $\alpha = 45^\circ$ olması gerekir.

2. Birbirini $90^\circ$‘ye Tamamlayan Açılar:

   Aynı büyüklükteki $v_0$ hızıyla atılan cisimlerin fırlatma açıları toplamı $90^\circ$ ise ($\alpha + \beta = 90^\circ$), bu iki cismin yatay menzilleri birbirine eşittir ($x_1 = x_2$).

   (Örnek: $30^\circ$ ve $60^\circ$ ya da $37^\circ$ ve $53^\circ$ ile atılan cisimlerin menzilleri aynıdır; fakat büyük açıyla atılanın tepe noktası daha yüksek, uçuş süresi daha uzundur).

3. İvme Vektörü:

   Atış hareketlerinin tamamında (ister yatay, ister eğik atış olsun) ivme daima yere doğru, sabit ve $\vec{a} = \vec{g}$ büyüklüğündedir. Tepe noktasında hız sıfır olsa dahi ivme sıfır değildir, $g$‘dir.

4. Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1 (Yatay Atış)

Hava sürtünmesinin önemsenmediği bir ortamda, yerden $80\text{ m}$ yükseklikteki bir kulenin tepesinden $30\text{ m/s}$ büyüklüğünde yatay hızla bir cisim fırlatılıyor. ($g = 10\text{ m/s}^2$)

Buna göre:

a) Cisim kaç saniye sonra yere düşer?

b) Cismin menzil uzaklığı ($x$) kaç metredir?

c) Cisim yere kaç $\text{m/s}$ hızla çarpar?

Çözüm:

• a) Düşeyde serbest düşme yapar:

  $$h = \frac{1}{2}gt^2 \implies 80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4\text{ s}$$

• b) Yatayda sabit hızlı hareket yapar:

  $$x = v_x \cdot t \implies x = 30 \cdot 4 = 120\text{ m}$$

• c) Yere çarpma anındaki hız bileşenleri:

  • $v_x = 30\text{ m/s}$ (Değişmez)

  • $v_y = g \cdot t = 10 \cdot 4 = 40\text{ m/s}$

  Bileşke çarpma hızı Pisagor bağıntısından:

  $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m/s}$$

Örnek 2 (Eğik Atış)

Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda bir futbolcu, topa yerle $53^\circ$ açı yapacak şekilde $50\text{ m/s}$ hızla vuruyor.

($g = 10\text{ m/s}^2$, $\sin 53^\circ = 0{,}8$, $\cos 53^\circ = 0{,}6$)

Buna göre:

a) Topun havada kalma süresi kaç saniyedir?

b) Topun çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?

c) Top fırlatıldığı noktadan kaç metre uzağa düşer?

Çözüm:

Öncelikle ilk hız bileşenlerine ayrılır:

• $v_{0x} = v_0 \cdot \cos 53^\circ = 50 \cdot 0{,}6 = 30\text{ m/s}$

• $v_{0y} = v_0 \cdot \sin 53^\circ = 50 \cdot 0{,}8 = 40\text{ m/s}$

• a) Çıkış ve uçuş süresi:

  $$t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{40}{10} = 4\text{ s}$$
  $$t_{\text{uçuş}} = 2 \cdot t_{\text{çıkış}} = 2 \cdot 4 = 8\text{ s}$$

• b) Maksimum yükseklik:

  $$h_{\text{maks}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{40^2}{2 \cdot 10} = \frac{1600}{20} = 80\text{ m}$$

  (Pratik serbest düşme kuralıyla: $4\text{ s}$ tepeye çıkış $\implies 5 + 15 + 25 + 35 = 80\text{ m}$)

• c) Yatay menzil:

  $$x_{\text{menzil}} = v_{0x} \cdot t_{\text{uçuş}} = 30 \cdot 8 = 240\text{ m}$$