Çokgenlerin Sınıflandırılması (İçbükey ve Dışbükey Çokgenler)

I. DERS NOTLARI

1. Çokgen Kavramı ve Temel Özellikleri

• Tanım: Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ ($n \ge 3$) tane noktanın ardışık olarak doğru parçalarıyla birleştirilmesiyle oluşan, kapalı ve kendisini kesmeyen iki boyutlu geometrik şekillere çokgen denir.

• İsimlendirme: Çokgenler kenar veya köşe sayılarına göre adlandırılır. Örneğin 3 kenarlı çokgen üçgen, 4 kenarlı dörtgen, 5 kenarlı beşgen, 6 kenarlı altıgen, 8 kenarlı sekizgen, 9 kenarlı dokuzgen olarak ifade edilir.

• Köşegen: Çokgende komşu olmayan herhangi iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

ÇOKGENLERİN GENEL SINIFLANDIRILMASI
 ├── Dışbükey (Konveks) Çokgenler: Bütün iç açıları < 180°, tüm köşegenleri iç bölgede
 └── İçbükey (Konkav) Çokgenler: En az bir iç açısı > 180°, en az bir köşegeni dış bölgede

2. Dışbükey (Konveks) Çokgenler

• Açı Kriteri: Çokgenin tüm iç açılarının ölçüsü $180^\circ$den kesinlikle küçüktür.

• Köşegen Kriteri: Çokgenin ardışık olmayan köşeleri arasında çizilebilecek tüm köşegenler tamamen çokgenin iç bölgesinde kalır.

• Doğru Parçası Kriteri: Çokgenin iç bölgesinde rastgele seçilen herhangi iki noktayı ($K$ ve $L$) birleştiren $[KL]$ doğru parçasının tüm noktaları daima çokgenin iç bölgesinde kalır.

3. İçbükey (Konkav) Çokgenler

• Açı Kriteri: Çokgenin en az bir iç açısının ölçüsü $180^\circ$den büyüktür.

• Köşegen Kriteri: Çokgenin köşeleri birleştirildiğinde çizilen köşegenlerden en az biri çokgenin dış bölgesine taşar (dışarıdan geçer).

• Doğru Parçası Kriteri: Çokgenin iç bölgesinde öyle iki nokta seçilebilir ki bu noktaları birleştiren doğru parçasının bir kısmı veya tamamı çokgenin dış bölgesinde kalır.

• Görünüm: İçbükey çokgenler sanki bir veya birden fazla köşesinden içeriye doğru “bükülmüş / çökmüş” bir görsel yapı sergiler.

4. Dışbükeylik ve İçbükeylik Ayırt Etme Tablosu

II. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK TEST SORULARI

Soru 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya çizdiği çokgenlerin sınıflandırılması ile ilgili öğrencilerine şu soruyu yöneltmiştir:

“Bir çokgenin iç bölgesinde aldığımız herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı her zaman o çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgen nasıl adlandırılır?”

Öğretmenin tarif ettiği bu çokgen türü aşağıdakilerden hangisidir?

A) İçbükey çokgen

B) Dışbükey çokgen

C) Düzgün olmayan içbükey çokgen

D) Çapraz çokgen

E) Açık çokgen

Çözüm 1

Geometride bir şeklin iç bölgesinde seçilen keyfi her iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamı yine o şeklin iç bölgesinde kalıyorsa bu şekil dışbükeylik (konvekslik) tanımını sağlar. İçbükey çokgenlerde girintili kısımlar sebebiyle seçilen bazı iki noktanın birleşim çizgisi şeklin dışına taşar. Dolayısıyla tarif edilen şekil dışbükey çokgendir.

Doğru Seçenek: B

Soru 2

Aşağıdaki tabloda beş farklı çokgene ait bazı iç açı ölçüleri veya köşegen durumları verilmiştir:

Buna göre verilen çokgenlerden hangileri kesinlikle “İçbükey Çokgen” sınıfına girer?

A) I ve III

B) II ve IV

C) II, IV ve V

D) I, II ve V

E) III, IV ve V

Çözüm 2

• I. çokgen: Tüm iç açıları $180^\circ$den küçük olduğundan dışbükeydir.

• II. çokgen: $215^\circ > 180^\circ$ olduğundan en az bir açısı $180^\circ$den büyüktür; dolayısıyla içbükeydir.

• III. çokgen: Köşegenlerin tümü içeride kaldığından dışbükeydir.

• IV. çokgen: Köşegenlerden en az birinin dış bölgeye taşması içbükeyliğin temel şartıdır.

• V. çokgen: $182^\circ > 180^\circ$ olduğundan iç açısı $180^\circ$den büyüktür; dolayısıyla içbükeydir.

İçbükey çokgenler II, IV ve V’tir.

Doğru Seçenek: C

Soru 3

Kenar sayısı 7 olan bir yedigen ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• Çokgenin altı tane iç açısının ölçüsü sırasıyla $110^\circ, 125^\circ, 95^\circ, 130^\circ, 140^\circ$ ve $100^\circ$dir.

• Yedinci iç açısının ölçüsü ise $200^\circ$dir.

Buna göre bu çokgen için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Her bir iç açısı $180^\circ$den küçük olduğu için dışbükey yedigendir.

B) Yedinci iç açısının ölçüsü $180^\circ$den büyük olduğu için içbükey yedigendir.

C) Bütün köşegenleri çokgenin iç bölgesinde kalır.

D) Tüm kenar uzunlukları eşit olmak zorundadır.

E) Bu şekil kapalı bir geometrik şekil oluşturamaz.

Çözüm 3

Bir çokgenin içbükey (konkav) olarak sınıflandırılması için yalnızca bir tane iç açısının $180^\circ$den büyük olması yeterlidir. Verilen yedigende yedinci köşe açısı $200^\circ > 180^\circ$ olduğundan bu çokgen içbükey bir yedigendir ve köşegenlerinden en az biri dışarı taşacaktır.

Doğru Seçenek: B

Soru 4

Aşağıda verilen geometrik şekillerden hangisi kesinlikle bir dışbükey (konveks) çokgen örneğidir?

A) Dört köşeli bumerang şeklindeki bir dörtgen

B) Beş köşeli klasik bir yıldız çokgeni

C) Tüm kenarları ve açıları eşit olan bir düzgün altıgen

D) Bir köşesi içeriye doğru katlanmış içbükey sekizgen

E) İki kenarı birbiriyle kesişen açık kenarlı çokgensel çizgi

Çözüm 4

Düzgün çokgenlerin (eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen vb.) tüm iç açıları birbirine eşittir ve kenar sayısı ne olursa olsun bir iç açısı $180^\circ$den küçüktür (Örn: düzgün altıgenin bir iç açısı $120^\circ < 180^\circ$). Bu nedenle düzgün çokgenlerin tamamı istisnasız dışbükey çokgendir. Bumerang ve yıldız şekilleri ise içe bükülen açıları $180^\circ$den büyük olan içbükey şekillerdir.

Doğru Seçenek: C

Soru 5

Çokgenlerin içbükeylik ve dışbükeylik özellikleri incelendiğinde;

• I. Bir üçgen hiçbir zaman içbükey çokgen olamaz.

• II. Dışbükey bir çokgenin herhangi bir kenar doğrusu çizildiğinde çokgenin tamamı bu doğrunun tek bir tarafında (aynı yarı düzlemde) kalır.

• III. İçbükey çokgenlerde iç açıların ölçüleri toplamı hesaplanamaz.

önermelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnız III

C) I ve II

D) II ve III

E) I, II ve III

Çözüm 5

• I. önerme: Doğrudur. Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan hiçbir açısı $180^\circ$ veya daha büyük olamaz; dolayısıyla tüm üçgenler zorunlu olarak dışbükeydir.

• II. önerme: Doğrudur. Dışbükey çokgenlerin tanımlarından biri de herhangi bir kenar uzatıldığında çokgeni bölmemesi, çokgenin tamamen o kenar doğrusunun bir tarafında kalmasıdır.

• III. önerme: Yanlıştır. Basit kapalı tüm $n$ kenarlı çokgenlerin (içbükeyler dahil) iç açıları toplamı $(n – 2) \cdot 180^\circ$ formülü ile hesaplanabilir[cite: 5].

Doğru önermeler I ve II’dir[cite: 5].

Doğru Seçenek: C