🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri (Açı, Köşegen, Simetri ve Alan)

I. DERS NOTLARI

1. Dışbükey Çokgenlerde Açı ve Köşegen Bağıntıları

$n$ kenarlı ($n \ge 3$) bir dışbükey çokgende temel bağıntılar şu şekildedir:

• Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısı: Bir köşeden kendisine ve komşu iki köşesine köşegen çizilemeyeceğinden $(n – 3)$ tanedir.

• Oluşan Üçgen Sayısı: Bir köşeden çizilen bu köşegenler çokgeni $(n – 2)$ tane üçgensel bölgeye ayırır.

• İç Açılarının Ölçüleri Toplamı: Oluşan üçgenlerin her birinin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:

  $$\text{İç Açılar Toplamı} = (n – 2) \cdot 180^\circ$$

• Dış Açılarının Ölçüleri Toplamı: Kenar sayısından ($n$) bağımsız olarak tüm dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı daima sabittir:

  $$\text{Dış Açılar Toplamı} = 360^\circ$$

2. Düzgün Çokgenler ve Temel Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit ve bütün iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

• Bir Dış Açısının Ölçüsü ($\alpha$): Dış açılar toplamı $360^\circ$ ve tüm köşelerdeki dış açılar eşit olduğundan:

  $$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$$

• Bir İç Açısının Ölçüsü: Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı $180^\circ$ olduğundan:

  $$\text{İç Açı} = 180^\circ – \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n – 2) \cdot 180^\circ}{n}$$

• Sık Karşılaşılan Düzgün Çokgenlerin Açı Değerleri:

  • Eşkenar Üçgen ($n=3$): Dış açı $= 120^\circ$, İç açı $= 60^\circ$

  • Kare ($n=4$): Dış açı $= 90^\circ$, İç açı $= 90^\circ$

  • Düzgün Beşgen ($n=5$): Dış açı $= 72^\circ$, İç açı $= 108^\circ$

  • Düzgün Altıgen ($n=6$): Dış açı $= 60^\circ$, İç açı $= 120^\circ$

  • Düzgün Sekizgen ($n=8$): Dış açı $= 45^\circ$, İç açı $= 135^\circ$

  • Düzgün Dokuzgen ($n=9$): Dış açı $= 40^\circ$, İç açı $= 140^\circ$

  • Düzgün Onikigen ($n=12$): Dış açı $= 30^\circ$, İç açı $= 150^\circ$

3. Düzgün Çokgenlerde Köşegen ve Simetri Kuralları

• Kenar Sayısı Çift Olan Düzgün Çokgenler (Altıgen, Sekizgen vb.):

  • En uzun köşegen simetri merkezinden geçer; aynı zamanda iç açıortay ve simetri eksenidir.

  • Karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.

  • $n$ kenarlı çift çokgende simetri ekseni sayısı $n$ tanedir. (Yarısı karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenler, yarısı karşılıklı kenarların orta dikmeleridir).

• Kenar Sayısı Tek Olan Düzgün Çokgenler (Beşgen, Yedigen vb.):

  • Bir köşeden karşı kenara indirilen dikme; karşı kenarı ortalar, tepe açısının açıortayıdır ve simetri eksenidir.

  • $n$ kenarlı tek çokgende her köşeden karşı kenara inen $n$ tane simetri ekseni bulunur.

• Düzgün Beşgen: Bütün köşegen uzunlukları birbirine eşittir.

• Düzgün Altıgen: Bir kenarı $a$ birim ise:

  • Kısa köşegen uzunluğu: $a\sqrt{3}$ birimdir.

  • En uzun köşegen uzunluğu: $2a$ birimdir.

  • En uzun köşegenler şekli 6 adet eşkenar üçgene ayırır.

4. Düzgün Çokgenlerde Alan Bağıntıları

• Düzgün Altıgenin Alanı: Bir kenarı $a$ olan düzgün altıgen, bir kenarı $a$ olan 6 tane eşkenar üçgenden oluşur:

  $$\text{Alan} = 6 \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$

• Çevrel Çember Yarıçapı ($R$) Yardımıyla Alan: Düzgün çokgenin ağırlık merkezi $O$, köşelere uzaklığı $R$ ve merkez açısı $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$ olmak üzere:

  $$\text{Alan} = n \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin\alpha\right)$$

II. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK TEST SORULARI

Soru 1

Bir dışbükey çokgenin bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, bu çokgeni 9 adet üçgensel bölgeye ayırmaktadır.

Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

A) $1260^\circ$

B) $1440^\circ$

C) $1620^\circ$

D) $1800^\circ$

E) $1980^\circ$

Çözüm 1

$n$ kenarlı bir dışbükey çokgende bir köşeden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı $n – 2$ formülü ile bulunur.

Bu çokgen 11 kenarlıdır. Çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı formülü:

Verilen bağıntıda $n – 2 = 9$ yazılırsa:

olarak hesaplanır.

Doğru Seçenek: C

Soru 2

Bir dışbükey çokgenin üç tane iç açısının ölçüsü sırasıyla $130^\circ, 140^\circ$ ve $150^\circ$dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve $160^\circ$dir.

Buna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 15

Çözüm 2

Tüm dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı daima $360^\circ$dir. İç açılar yardımıyla köşelerdeki dış açılar bulunur (İç açı + Dış açı $= 180^\circ$):

• $130^\circ$‘lik açının dış açısı: $180^\circ – 130^\circ = 50^\circ$

• $140^\circ$‘lik açının dış açısı: $180^\circ – 140^\circ = 40^\circ$

• $150^\circ$‘lik açının dış açısı: $180^\circ – 150^\circ = 30^\circ$

Geriye kalan köşe sayısı $(n – 3)$ tanedir. Bu köşelerdeki iç açılar $160^\circ$ olduğundan dış açıları:

olur. Dış açılar toplamı eşitliği kurulursa:

bulunur.

Doğru Seçenek: E

Soru 3

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katıdır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin bir köşesinden en fazla kaç tane köşegen çizilebilir?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Çözüm 3

Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsüne $\alpha$ denilirse, bir iç açısının ölçüsü $5\alpha$ olur. Bütünler olduklarından:

Bir dış açısı $30^\circ$ olan düzgün çokgenin kenar sayısı ($n$):

Bu çokgen düzgün bir onikigendir. Bir köşeden çizilebilecek en fazla köşegen sayısı $n – 3$ formülü ile hesaplanır:

olarak bulunur.

Doğru Seçenek: C

Soru 4

Bir kenar uzunluğu 6 cm olan bir $ABCDEF$ düzgün altıgeninin en uzun köşegeni çizilmiştir.

Buna göre, bu düzgün altıgenin alanı kaç santimetrekaredir?

A) $36\sqrt{3}$

B) $48\sqrt{3}$

C) $54\sqrt{3}$

D) $72\sqrt{3}$

E) $108\sqrt{3}$

Çözüm 4

Bir kenarı $a$ birim olan düzgün altıgen, merkezinden çizilen en uzun köşegenlerle kenar uzunluğu $a$ olan 6 tane eşkenar üçgene ayrılır. Eşkenar üçgenlerden birinin alanı:

Kenar uzunluğu $a = 6\text{ cm}$ olduğuna göre:

Düzgün altıgen bu üçgenlerden 6 tanesini barındırdığı için toplam alan:

olarak elde edilir.

Doğru Seçenek: C

Soru 5

Düzgün çokgenlerin simetri eksenleri ve köşegen özellikleri ile ilgili;

• I. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar daima birbirine paraleldir.

• II. Düzgün beşgenin tüm köşegen uzunlukları birbirine eşittir.

• III. Düzgün sekizgenin merkezinden geçen 8 adet simetri ekseni vardır.

• IV. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde hiçbir köşegen simetri ekseni olamaz.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) I ve II

B) II ve III

C) I, II ve III

D) I, III ve IV

E) I, II, III ve IV

Çözüm 5

• I. öncül: Doğrudur. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde (kare, düzgün altıgen, sekizgen vb.) karşılıklı kenar çiftleri birbirine paraleldir.

• II. öncül: Doğrudur. Düzgün beşgende çizilen 5 adet köşegenin tamamı aynı uzunluktadır.

• III. öncül: Doğrudur. Düzgün bir $n$ gende $n$ adet simetri ekseni bulunur; düzgün sekizgende de tam 8 adet simetri ekseni vardır.

• IV. öncül: Doğrudur. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde (örneğin beşgende) simetri ekseni bir köşeden karşı kenarın orta noktasına indirilen dikmedir; köşeleri birleştiren bir köşegen değildir.

Tüm öncüller matematiksel olarak doğrudur.

Doğru Seçenek: E