🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Bire Birlik, Örtenlik ve Ters Fonksiyon İlişkisi

Bir fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olabilmesi için o fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten olması zorunludur.

$a \in \mathbb{R}^+ – \{1\}$ olmak üzere, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \; f(x) = a^x$ üstel referans fonksiyonu $\mathbb{R}$‘den $\mathbb{R}^+$‘ya bire bir ve örten olduğundan bu fonksiyonun her zaman tersi tanımlıdır.

Bu ters fonksiyona logaritmik referans fonksiyon denir ve $f^{-1}(x) = \log_a x$ şeklinde gösterilir.

2. Üstel ve Logaritmik İfadeler Arasındaki Temel Geçiş

Üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu birbirinin tersidir:

• Doğal Logaritma Fonksiyonu: Tabanı Euler sayısı ($e \approx 2{,}7182$) olan üstel referans fonksiyon $f(x) = e^x$‘in ters fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve $\ln x$ şeklinde gösterilir:

  $$y = e^x \iff x = \log_e y = \ln y$$

• Onluk (Bayağı) Logaritma Fonksiyonu: Tabanı $10$ olan üstel fonksiyon $f(x) = 10^x$‘in tersine onluk logaritma fonksiyonu denir ve taban yazılmadan $\log x$ şeklinde gösterilir.

3. Grafiksel Simetri Kuralı ($y = x$ Doğrusu)

Bir fonksiyonun grafiği ile ters fonksiyonunun grafiği daima $y = x$ (birinci açıortay) doğrusuna göre simetriktir.

• Üstel fonksiyon $f(x) = a^x$ grafiğinin $y = x$ doğrusuna göre simetriği alındığında doğrudan $f^{-1}(x) = \log_a x$ fonksiyonunun grafiği elde edilir.

• $f(x) = a^x$ fonksiyonu $(0, 1)$ noktasından geçerken, tersi olan $f^{-1}(x) = \log_a x$ fonksiyonu simetriden dolayı daima $(1, 0)$ noktasından geçer.

4. Artanlık ve Azalanlık İlişkisi

Bir fonksiyon artan ise tersi de artandır; fonksiyon azalan ise tersi de azalandır:

• $a > 1$ iken: $f(x) = a^x$ üstel fonksiyonu artandır; tersi olan $f^{-1}(x) = \log_a x$ fonksiyonu da artandır.

• $0 < a < 1$ iken: $f(x) = a^x$ üstel fonksiyonu azalandır; tersi olan $f^{-1}(x) = \log_a x$ fonksiyonu da azalandır.

5. Türetilmiş Üstel Fonksiyonların Tersini Bulma Adımları

1. Eşitlikte $f(x)$ yerine $y$ yazılır.

2. Üstel ifade tek başına kalacak şekilde cebirsel sadeleştirmeler yapılır.

3. $a^{\text{ifade}} = B \iff \text{ifade} = \log_a B$ kuralı uygulanır.

4. $x$ yalnız bırakılır ve son olarak $x$ yerine $f^{-1}(x)$, $y$ yerine $x$ yazılarak ters fonksiyon elde edilir.

II. BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun cebirsel kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A) $f^{-1}(x) = \log_5(x) – 2$

B) $f^{-1}(x) = \log_5(x) + 2$

C) $f^{-1}(x) = \log_5(x – 2)$

D) $f^{-1}(x) = \log_5(x + 2)$

E) $f^{-1}(x) = 2\log_5 x$

Çözüm 1

$y = 5^{x – 2}$ yazılır.

Üstel ifade logaritmaya dönüştürülür:

$x$ yalnız bırakılır:

Değişkenler dönüştürülerek ters fonksiyon yazılır:

Doğru Seçenek: B

Soru 2

fonksiyonu için $f^{-1}(14)$ değeri kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm 2

$f^{-1}(14) = k \iff f(k) = 14$ kuralı uygulanır:

Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir:

Buradan $f^{-1}(14) = 1$ bulunur.

Doğru Seçenek: A

Soru 3

Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = e^{2x – 3}$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{\ln x + 3}{2}$

B) $\frac{\ln(x + 3)}{2}$

C) $2\ln x – 3$

D) $\ln(2x – 3)$

E) $\frac{\ln x – 3}{2}$

Çözüm 3

$y = e^{2x – 3}$ eşitliğinde doğal logaritmaya geçilir:

$x$ yalnız bırakılır:

Buradan ters fonksiyon kuralı elde edilir:

Doğru Seçenek: A

Soru 4

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = 2^x$ fonksiyonu ile tersi olan $g(x) = \log_2 x$ fonksiyonunun grafikleri analitik düzlemde hangi doğruya göre simetriktir?

A) $x$ ekseni

B) $y$ ekseni

C) $y = -x$ doğrusu

D) $y = x$ doğrusu

E) $x = 1$ doğrusu

Çözüm 4

Birbirinin tersi olan iki fonksiyonun grafikleri koordinat sisteminde daima $y = x$ (birinci açıortay) doğrusuna göre simetriktir. $f(x) = 2^x$ üstel fonksiyonu ile tersi olan $g(x) = \log_2 x$ fonksiyonu da $y = x$ doğrusuna göre simetrik bir yapı sergiler.

Doğru Seçenek: D

Soru 5

fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R}$

B) $(0, \infty)$

C) $(3, \infty)$

D) $[3, \infty)$

E) $(-\infty, 3)$

Çözüm 5

Bir fonksiyonun değer kümesi (görüntü kümesi), ters fonksiyonunun tanım kümesine eşittir:

Fonksiyon $f: \mathbb{R} \to (3, \infty)$ olarak verildiğinden görüntü kümesi $(3, \infty)$ aralığıdır. Ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \log_4(x – 3)$ şeklinde bulunur ve logaritma kuralı gereği $x – 3 > 0 \implies x > 3$ olmalıdır. Dolayısıyla tanım kümesi $(3, \infty)$ aralığıdır.

Doğru Seçenek: C