İstatistiksel Bağlam ve Araştırma Sorusu

• İstatistiksel Bağlam: Verilerin toplanması, yorumlanması ve geçerliliğinin değerlendirilmesi için kurgulanan gerçek yaşam durumudur.

• İki Nicel Değişkenli Araştırma Sorusu: Sayısal olarak ölçülebilen iki nicelik (örneğin boy-kütle, sıcaklık-su tüketimi, reklam gideri-satış miktarı) arasındaki ilişkiyi veya değişimi inceleyen sorulardır.

• Araştırma Sorusunda Bulunması Gereken Ölçütler:

  • Amacın açık ve net olması.

  • İlgilenilen evrenin ve değişkenlerin açıkça belirtilmesi.

  • Sorunun veri toplanarak cevaplanabilir olması.

  • Değişebilirliği yansıtması ve araştırmaya değer olması.

  • Nicel veri toplamayı gerektirmesi.

Veri Toplama Planı Aşamaları

1. Veri Toplama Aracının Belirlenmesi: Anket, sensör, resmî raporlar (TÜİK vb.) gibi araçların seçilmesi.

2. Evren ve Örneklemin Belirlenmesi: Araştırmanın kapsadığı ana kitle (evren) ve bu kitleyi temsil eden alt grubun (örneklem) tespiti.

3. Rastgeleliğin Sağlanması: Örneklemin evreni tarafsız temsil edebilmesi için yansız yöntemlerle seçilmesi.

4. Değişkenlerin Belirlenmesi: İncelenecek nicel özelliklerin tanımlanması.

5. Uygulama Şartlarının Belirlenmesi: Verilerin nerede, ne zaman, nasıl ve kim tarafından toplanacağının planlanması.

6. Verilerin Kaydedilmesi: Tablo veya yazılımlara girilmesi.

7. Etik İlkeler: Veri gizliliği, tarafsızlık, dürüstlük ve nesnellik.

Serpme Diyagramı (Saçılım Grafiği)

İki nicel değişkenin değerlerinin Kartezyen koordinat sisteminde $(x, y)$ sıralı ikilileri şeklinde gösterilmesiyle elde edilen nokta grafiğidir.

• Pozitif Yönlü İlişki: $x$ değişkeni artarken $y$ değişkeni de artma eğilimindedir (noktalar sol alttan sağ üste doğru yönelir).

• Negatif Yönlü İlişki: $x$ değişkeni artarken $y$ değişkeni azalma eğilimindedir (noktalar sol üstten sağ alta doğru yönelir).

• İlişki Yok: Noktalar bir doğrusal eğilim göstermeden koordinat düzlemine rastgele dağılmıştır.

• İlişkinin Gücü: Noktalar varsayımsal bir doğru etrafında ne kadar sıkı toplanırsa ilişki o kadar güçlüdür; noktalar dağıldıkça ilişki zayıflar.

Korelasyon Katsayısı ($r$)

İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirten, $[-1, 1]$ aralığında değer alan istatistiksel bir ölçüttür.

• $r = 1$: Mükemmel pozitif doğrusal ilişki.

• $0{,}70 \le r < 1$: Güçlü pozitif ilişki.

• $0{,}30 \le r < 0{,}70$: Orta düzeyde pozitif ilişki.

• $0 < r < 0{,}30$: Zayıf pozitif ilişki.

• $r = 0$: Doğrusal ilişki yok.

• $-0{,}30 < r < 0$: Zayıf negatif ilişki.

• $-0{,}70 < r \le -0{,}30$: Orta düzeyde negatif ilişki.

• $-1 < r \le -0{,}70$: Güçlü negatif ilişki.

• $r = -1$: Mükemmel negatif doğrusal ilişki.

DİKKAT (Korelasyon $\ne$ Nedensellik): İki değişken arasında yüksek korelasyon bulunması, değişkenlerden birinin diğerinin doğrudan nedeni olduğunu göstermez. Aradaki ilişki bilinmeyen üçüncü bir “gizli değişkenden” kaynaklanıyor olabilir.

Aykırı Değer Etkisi: Veri kümesinde yer alan uç (aykırı) değerler korelasyon katsayısını yanıltıcı şekilde yükseltebilir veya düşürebilir.

Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO)

Korelasyon katsayısını yaklaşık olarak pratik yoldan hesaplamada kullanılan yöntemdir.

1. $x$ değişkeninin aritmetik ortalaması $\overline{X}$, $y$ değişkeninin aritmetik ortalaması $\overline{Y}$ hesaplanır.

2. $x = \overline{X}$ ve $y = \overline{Y}$ doğruları çizilerek serpme diyagramı 4 bölgeye ayrılır:

   • 1. Bölge: $x > \overline{X}$ ve $y > \overline{Y}$

   • 2. Bölge: $x < \overline{X}$ ve $y > \overline{Y}$

   • 3. Bölge: $x < \overline{X}$ ve $y < \overline{Y}$

   • 4. Bölge: $x > \overline{X}$ ve $y < \overline{Y}$

3. Eksenler üzerinde kalan noktalar hesaplamaya katılmaz.

4. Formül:

   $$\text{BSO} = \frac{(n_1 + n_3) – (n_2 + n_4)}{\text{Toplam Nokta Sayısı}}$$

   Bulunan BSO değeri de $r$ gibi $[-1, 1]$ aralığında yorumlanır.

2. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK TEST SORULARI

Soru 1

Bir lise öğrencisi, istatistiksel araştırma projesi kapsamında okulundaki öğrenciler üzerinde bir çalışma planlamaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen sorulardan hangisi “iki nicel değişkenli veriye dayalı bir istatistiksel araştırma sorusu” niteliği taşır?

A) 11. sınıf öğrencilerinin en çok tercih ettiği ders çalışma ortamı neresidir?

B) Bir fabrikada üretilen araçların renk tercihleri cinsiyete göre farklılık gösterir mi?

C) Lise öğrencilerinin günlük ekranda geçirdikleri süre ile haftalık kitap okuma süreleri arasında bir ilişki var mıdır?

D) Bir okuldaki öğretmenlerin kan gruplarının branşlara göre dağılımı nasıldır?

E) Türkiye’de en çok ziyaret edilen millî park hangisidir?

Çözüm

• A şıkkında ortam kategorik tek değişkendir.

• B ve D şıkları iki kategorik değişken arasındaki ilişkiyi inceler.

• E şıkkı araştırma sorusu dahi değildir; tekil bir olguyu sorar.

• C şıkkında “günlük ekranda geçirilen süre (saat/dakika)” ile “haftalık kitap okuma süresi (saat/dakika)” ölçülebilen ve sayısal olarak ifade edilebilen iki nicel değişkendir ve aralarındaki ilişkiyi sorgulamaktadır.

  Doğru Cevap: C

Soru 2

İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi incelemek için toplanan 20 veri çiftine ait serpme diyagramında değişkenlerin aritmetik ortalamaları $\overline{X}$ ve $\overline{Y}$ hesaplanarak ortalama eksenleri çizilmiştir. Eksenler üzerinde herhangi bir nokta bulunmamaktadır.

Yapılan sayım sonucunda:

• 1. bölgede ($x > \overline{X}, y > \overline{Y}$): 8 nokta

• 2. bölgede ($x < \overline{X}, y > \overline{Y}$): 2 nokta

• 3. bölgede ($x < \overline{X}, y < \overline{Y}$): 7 nokta

• 4. bölgede ($x > \overline{X}, y < \overline{Y}$): 3 nokta

bulunmuştur.

Buna göre, bu veri grubunun Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO) kaçtır ve değişkenler arasındaki ilişki nasıldır?

A) $0{,}50$ — Pozitif yönlü, orta düzeyde ilişki

B) $0{,}75$ — Pozitif yönlü, güçlü ilişki

C) $-0{,}50$ — Negatif yönlü, orta düzeyde ilişki

D) $0{,}25$ — Pozitif yönlü, zayıf düzeyde ilişki

E) $0$ — Değişkenler arasında ilişki yoktur

Çözüm

1. Formül uygulanır:

   $$\text{BSO} = \frac{(n_1 + n_3) – (n_2 + n_4)}{\text{Toplam Nokta Sayısı}}$$

2. Verilen değerler yerine yazılır:

   $$\text{BSO} = \frac{(8 + 7) – (2 + 3)}{20} = \frac{15 – 5}{20} = \frac{10}{20} = 0{,}50$$

3. $0{,}30 \le r < 0{,}70$ aralığında pozitif değerler “Pozitif yönlü, orta düzeyde ilişki”yi gösterir.

   Doğru Cevap: A

Soru 3

Bir meteoroloji istasyonu, bir il merkezinde son 10 yılın “kış aylarındaki kömür tüketim miktarı” ile “havadaki kükürt dioksit ($SO_2$) konsantrasyonu” verilerini incelemiş ve korelasyon katsayısını $r = 0{,}88$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, bu iki nicel değişken arasındaki ilişki hakkında aşağıdaki yorumlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Değişkenler arasında negatif yönlü ve zayıf bir ilişki bulunmaktadır.

B) Değişkenler arasında pozitif yönlü ve güçlü bir doğrusal ilişki vardır.

C) Kömür tüketimi azaldıkça havadaki kükürt dioksit oranı kesinlikle artmaktadır.

D) Kömür tüketimi ile kükürt dioksit oranı arasında doğrusal hiçbir bağ bulunmamaktadır.

E) İki değişken arasında negatif yönlü mükemmel bir ilişki mevcuttur.

Çözüm

• $r = 0{,}88$ pozitif bir sayıdır, dolayısıyla ilişkinin yönü pozitiftir.

• $0{,}70 \le r < 1$ aralığı “güçlü ilişki” tanımına girer.

• Dolayısıyla değişkenler arasında pozitif yönlü ve güçlü bir ilişki vardır.

  Doğru Cevap: B

Soru 4

Bir ziraat mühendisi, buğday tarlalarında “sulama miktarı ($m^3$)” ile “alınan buğday verimi (ton)” arasındaki ilişkiyi araştırmış ve korelasyon katsayısını $r = 0{,}82$ olarak bulmuştur. Araştırmacı bu sonuca dayanarak: “Sulama miktarını ne kadar artırırsak dekardan alacağımız buğday rekoltesi de o kadar sınırsız şekilde artacaktır, çünkü aralarında güçlü bir nedensellik vardır.” iddiasında bulunmuştur.

İstatistiksel araştırma ilkeleri dikkate alındığında araştırmacının bu yorumundaki temel hata aşağıdakilerden hangisidir?

A) Korelasyon katsayısının negatif olması gerekirken pozitif hesaplanması

B) İki nicel değişken arasında saçılım grafiğinin çizilemeyeceğini bilmemesi

C) Korelasyonun (ilişkililiğin) varlığının doğrudan bir “neden-sonuç” (nedensellik) ilişkisi anlamına gelmeyeceğini ve aşırı sulamanın taban suyu tuzlanması gibi gizli etkenlerle verimi düşürebileceğini göz ardı etmesi

D) İki değişkenli çalışmalarda örneklem sayısının 5’ten fazla olamayacağını unutması

E) Tarımsal verilerin nicel değişken olarak kabul edilemeyeceğini varsayması

Çözüm

İstatistikte korelasyon sadece iki değişkenin birlikte nasıl hareket ettiğini (doğrusal eğilimini) inceler; tek başına bir nedensellik kanıtı değildir. Ayrıca belirli bir doygunluk noktasından sonra aşırı sulama kök çürümesine ve tuzlanmaya neden olarak verimi azaltabilir. Araştırmacının en temel yanılgısı yüksek korelasyonu mutlak ve sınırsız bir neden-sonuç ilişkisi olarak yorumlamasıdır.

Doğru Cevap: C

Soru 5

Beş kişilik bir öğrenci grubunun “haftalık ders çalışma süreleri (saat)” ile “deneme sınavı netleri” arasındaki ilişkiyi gösteren veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bu veri grubu bir Kartezyen koordinat sisteminde gösterildiğinde oluşacak serpme diyagramı ve korelasyon katsayısı ($r$) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Noktalar koordinat düzlemine dağınık yayılır ve $r = 0$‘dır.

B) $x$ değerleri artarken $y$ değerleri azaldığı için $r = -1$‘dir.

C) Noktalar eğimi pozitif olan tek bir doğru üzerinde dizilir ve $r = 1$‘dir.

D) Veriler arasında negatif yönlü orta düzeyde bir ilişki vardır ve $-0{,}70 < r \le -0{,}30$‘dur.

E) Noktalar yatay bir eksende sabit kaldığı için korelasyon katsayısı hesaplanamaz.

Çözüm

Tablodaki değişim incelendiğinde:

• Çalışma süresi ($x$) her 5 saat arttığında,

• Deneme neti ($y$) tam olarak 10 net artmaktadır.

Tüm noktalar:

doğrusu üzerinde yer alır. Bütün noktalar eğimi pozitif olan tek bir doğru üzerinde kusursuz bir çizgi oluşturduğundan değişkenler arasında pozitif yönlü mükemmel ilişki vardır ve korelasyon katsayısı $r = 1$‘dir.

Doğru Cevap: C