Dörtgenlerin Özellikleri (Açı, Kenar, Köşegen, Simetri ve Alan)

I. DERS NOTLARI

1. Dışbükey ve İçbükey Dörtgenler

• Dışbükey (Konveks) Dörtgen: Her bir iç açısının ölçüsü $180^\circ$den küçük olan veya çizilen tüm köşegenleri dörtgenin tamamen iç bölgesinde kalan dörtgenlerdir.

• İçbükey (Konkav) Dörtgen: En az bir iç açısının ölçüsü $180^\circ$den büyük olan ya da en az bir köşegeni dörtgenin dış bölgesine taşan dörtgenlerdir.

2. Dörtgenlerde Açı Özellikleri

• Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $360^\circ$dir.

• Bir dışbükey dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı $360^\circ$dir.

• Komşu İki Açının Açıortayı Arasındaki Açı: Bir $ABCD$ dörtgeninde ardışık iki iç açının (örneğin $A$ ve $B$) iç açıortaylarının kesişmesiyle oluşan dar/geniş açının ölçüsü ($\alpha$), diğer iki köşedeki iç açıların ölçüleri toplamının yarısına eşittir:

  $$\alpha = \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}$$

• Karşılıklı İki Açının Açıortayı Arasındaki Dar Açı: Karşılıklı iki iç açının (örneğin $A$ ve $C$) iç açıortaylarının kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü ($\theta$), diğer iki köşedeki açıların ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir:

  $$\theta = \frac{\vert{}m(\widehat{B}) – m(\widehat{D})\vert{}}{2}$$

3. Dörtgenlerde Kenar ve Köşegen Özellikleri

• Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenler: Köşegenleri birbirine dik olan ($[AC] \perp [BD]$) herhangi bir dışbükey dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir:

  $$a^2 + c^2 = b^2 + d^2$$

  (Burada $a=\vert{}AB\vert{}$, $b=\vert{}BC\vert{}$, $c=\vert{}CD\vert{}$, $d=\vert{}DA\vert{}$ dır.)

• Orta Noktaların Birleştirilmesi (Varignon Teoremi): Bir $ABCD$ dörtgeninin kenar orta noktaları ($K, L, M, N$) sırasıyla birleştirildiğinde her zaman bir paralelkenar oluşur:

  • Bu paralelkenarın çevresi, dörtgenin köşegen uzunlukları toplamına eşittir:

    $$\text{Çevre}(KLMN) = \vert{}AC\vert{} + \vert{}BD\vert{}$$

  • Bu paralelkenarın alanı, ana dörtgenin alanının yarısına eşittir:

    $$\text{Alan}(KLMN) = \frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}$$

  • Eğer dörtgenin köşegenleri dik kesişiyorsa oluşan $KLMN$ bir dikdörtgen; köşegen uzunlukları eşitse eşkenar dörtgen; hem dik kesişip hem uzunlukları eşitse bir kare olur.

4. Dörtgenlerde Simetri Özellikleri

• Yamuk ve Paralelkenar: Genel paralelkenar ve yamukta doğruya göre simetri ekseni yoktur (paralelkenarın köşegenleri simetri ekseni değildir).

• İkizkenar Yamuk: Karşılıklı paralel tabanların orta noktalarından geçen doğru 1 adet simetri eksenidir.

• Eşkenar Dörtgen: İki köşegeni de açıortaydır ve 2 adet simetri ekseni vardır.

• Dikdörtgen: Karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen doğrular simetri eksenidir (2 adet simetri ekseni vardır; köşegenleri simetri ekseni değildir).

• Kare: Hem kenar orta dikmeleri hem de köşegenleri simetri eksenidir (4 adet simetri ekseni vardır).

• Deltoid: Tabanı oluşturan farklı kenarların kesiştiği köşeleri birleştiren ana köşegen 1 adet simetri eksenidir.

5. Dörtgenlerde Alan Özellikleri

• Köşegenler ve Açı Yardımıyla Alan: Köşegen uzunlukları $\vert{}AC\vert{}$ ve $\vert{}BD\vert{}$, köşegenler arasındaki açı $\alpha$ olan bir dörtgenin alanı:

  $$\text{Alan}(ABCD) = \frac{1}{2} \cdot \vert{}AC\vert{} \cdot \vert{}BD\vert{} \cdot \sin\alpha$$

• Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenin Alanı: $\alpha = 90^\circ$ ($\sin 90^\circ = 1$) olduğundan alan doğrudan köşegenlerin çarpımının yarısıdır:

  $$\text{Alan}(ABCD) = \frac{\vert{}AC\vert{} \cdot \vert{}BD\vert{}}{2}$$

• Köşegenlerin Böldüğü Alan Bağıntısı: Bir dörtgende köşegenlerin kesişim noktası $E$ olmak üzere oluşan dört üçgensel bölgenin alanları karşılıklı olarak çarpıldığında birbirine eşit olur:

  $$S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4$$

• Deltoidin Alanı: Köşegenleri daima dik kesiştiğinden:

  $$\text{Alan} = \frac{\vert{}AC\vert{} \cdot \vert{}BD\vert{}}{2}$$

II. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK TEST SORULARI

Soru 1

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortaylar dörtgenin iç bölgesindeki bir $E$ noktasında kesişmektedir.

olarak verilmiştir.

Buna göre, $C$ köşesindeki iç açının ölçüsü olan $m(\widehat{BCD})$ kaç derecedir?

A) $90^\circ$

B) $95^\circ$

C) $100^\circ$

D) $105^\circ$

E) $110^\circ$

Çözüm 1

Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki köşedeki iç açıların ölçüleri toplamının yarısına eşittir:

Verilen değerler bağıntıda yerine yazılırsa:

bulunur.

Doğru Cevap: C

Soru 2

Aşağıdaki şekilde verilen $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $E$ noktasında dik kesişmektedir ($[AC] \perp [BD]$).

• $\vert{}AB\vert{} = 7\text{ cm}$

• $\vert{}BC\vert{} = x\text{ cm}$

• $\vert{}CD\vert{} = 9\text{ cm}$

• $\vert{}DA\vert{} = 5\text{ cm}$

Buna göre, $x$ değeri kaç santimetredir?

A) $\sqrt{55}$

B) $3\sqrt{7}$

C) $\sqrt{105}$

D) $11$

E) $4\sqrt{7}$

Çözüm 2

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir:

Verilen kenar uzunlukları eşitlikte yerine yazılır:

elde edilir.

Doğru Cevap: C

Soru 3

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesim noktası $E$ dir. Köşegenlerin ayırdığı üçgensel bölgelerin alanları ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

• $\text{Alan}(\widehat{ABE}) = 12\text{ cm}^2$

• $\text{Alan}(\widehat{BCE}) = 18\text{ cm}^2$

• $\text{Alan}(\widehat{ADE}) = 8\text{ cm}^2$

Buna göre, $CDE$ üçgensel bölgesinin alanı ($\text{Alan}(\widehat{CDE})$) kaç santimetrekaredir?

A) $10$

B) $12$

C) $14$

D) $16$

E) $20$

Çözüm 3

Dörtgende köşegenlerin ayırdığı karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı birbirine eşittir:

Verilen alan değerleri yerine yazıldığında:

olarak hesaplanır.

Doğru Cevap: B

Soru 4

Dörtgen biçimindeki bir arazinin köşeleri $A, B, C, D$ noktaları ile gösterilmiştir.

• Arazinin köşegen uzunlukları $\vert{}AC\vert{} = 16\text{ metre}$ ve $\vert{}BD\vert{} = 15\text{ metre}$ olarak ölçülmüştür.

• Köşegenler arasındaki dar açının ölçüsü $30^\circ$dir.

Buna göre, bu arazinin toplam alanı kaç metrekaredir? ($\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$)

A) $30$

B) $60$

C) $90$

D) $120$

E) $150$

Çözüm 4

Köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı bilinen dörtgenin alan formülü:

Değerler formüle yerleştirildiğinde:

olarak bulunur.

Doğru Cevap: B

Soru 5

Dörtgenlerin simetri eksenleri ile ilgili yapılan matematiksel analizlerde öğrencilerin sunduğu bazı önermeler aşağıda verilmiştir:

• I. Eşkenar dörtgenin köşegen doğruları birer simetri eksenidir.

• II. Dikdörtgenin köşegen doğruları her zaman birer simetri eksenidir.

• III. Karenin 4 farklı simetri ekseni vardır.

• IV. İkizkenar yamuğun simetri ekseni, paralel olan tabanlarının orta noktalarından geçen doğrudur.

Buna göre, yukarıda verilen önermelerden hangileri doğrudur?

A) I ve II

B) I ve III

C) II ve IV

D) I, III ve IV

E) I, II, III ve IV

Çözüm 5

• I. önerme: Doğrudur. Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve şekli iki eş parçaya bölen simetri eksenleridir.

• II. önerme: Yanlıştır. Dikdörtgenin simetri eksenleri köşegenleri değil, karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren dik doğrulardır. Dikdörtgen köşegeni boyunca katlandığında kenarlar üst üste çakışmaz.

• III. önerme: Doğrudur. Karenin 2 adet kenar orta dikmesi ve 2 adet köşegeni olmak üzere toplam 4 tane simetri ekseni vardır.

• IV. önerme: Doğrudur. İkizkenar yamukta alt ve üst tabanın orta noktalarından geçen doğru tek simetri eksenidir.

Dolayısıyla I, III ve IV numaralı önermeler doğrudur.

Doğru Cevap: D