Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

1. Trigonometrik Referans Fonksiyonların Tanımı

Birim çember üzerindeki her $P$ noktası bir $\alpha$ açı ölçüsü veya yay uzunluğuyla $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$ şeklinde eşlenir. Bu ilişkiden hareketle gerçek sayılar kümesinde tanımlanan temel trigonometrik fonksiyonlara trigonometrik referans fonksiyonlar denir:

• Sinüs Referans Fonksiyonu: $f: \mathbb{R} \to [-1, 1], \quad f(x) = \sin x$

• Kosinüs Referans Fonksiyonu: $g: \mathbb{R} \to [-1, 1], \quad g(x) = \cos x$

• Tanjant Referans Fonksiyonu: $h: \mathbb{R} – \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

• Kotanjant Referans Fonksiyonu: $r: \mathbb{R} – \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R}, \quad r(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

2. Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri

3. Trigonometrik Referans Fonksiyonlardan Türetilen Fonksiyonlar

Genel formları:

şeklinde oluşturulan fonksiyonlardır.

• Dikey Germe / Sıkıştırma ($k$): Fonksiyonun genliğini $\vert{}k\vert{}$ katına çıkarır.

  • $f(x) = \sin x$ veya $\cos x$ için görüntü kümesi $[r – \vert{}k\vert{}, r + \vert{}k\vert{}]$ olur.

  • Maksimum değeri: $r + \vert{}k\vert{}$, minimum değeri: $r – \vert{}k\vert{}$ dır.

• Yatay Germe / Sıkıştırma ve Periyot Değişimi ($a$ veya $m$):

  • Sinüs ve kosinüs türevlerinde periyot: $T = \frac{2\pi}{\vert{}a\vert{}}$

  • Tanjant ve kotanjant türevlerinde periyot: $T = \frac{\pi}{\vert{}a\vert{}}$

• Yatay Öteleme ($b$): $b > 0$ ise grafik $x$ ekseni boyunca negatif yönde (sola) $b$ birim, $b < 0$ ise pozitif yönde (sağa) $\vert{}b\vert{}$ birim ötelenir.

• Dikey Öteleme ($r$ veya $s$): $r > 0$ ise grafik $y$ ekseni boyunca yukarı, $r < 0$ ise aşağı $\vert{}r\vert{}$ birim kaydırılır.

BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{\pi}{4}$

B) $\frac{\pi}{2}$

C) $\pi$

D) $2\pi$

E) $4\pi$

Çözüm 1

$g(x) = k \cdot \sin(mx + r) + s$ biçiminde verilen fonksiyonların periyot formülü $T = \frac{2\pi}{\vert{}m\vert{}}$ dir. Fonksiyonda $x$‘in katsayısı $m = 4$ olduğundan:

bulunur.

Doğru Seçenek: B

Soru 2

Gerçek sayılarda tanımlı

fonksiyonunun alabileceği en büyük (maksimum) değer ile en küçük (minimum) değerin toplamı kaçtır?

A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Çözüm 2

$\forall x \in \mathbb{R}$ için $-1 \le \cos(3x) \le 1$ dir.

1. En küçük değer için $\cos(3x) = 1$ alınırsa:

   $$\text{Min} = 2 – 4(1) = -2$$

2. En büyük değer için $\cos(3x) = -1$ alınırsa:

   $$\text{Maks} = 2 – 4(-1) = 2 + 4 = 6$$

   (Alternatif formül: $r = 2$, $k = -4$ olmak üzere Maks $= r + \vert{}k\vert{} = 2 + 4 = 6$; Min $= r – \vert{}k\vert{} = 2 – 4 = -2$)

Maksimum ve minimum değerlerin toplamı:

olarak bulunur.

Doğru Seçenek: C

Soru 3

Gerçek sayılarda tanımlı trigonometrik fonksiyonlardan hangisi bir çift fonksiyondur?

A) $f(x) = \sin x$

B) $g(x) = \tan x$

C) $h(x) = \cot x$

D) $k(x) = \cos x$

E) $p(x) = 3\sin(2x)$

Çözüm 3

• $\sin(-x) = -\sin x \implies \text{Tek}$

• $\tan(-x) = -\tan x \implies \text{Tek}$

• $\cot(-x) = -\cot x \implies \text{Tek}$

• $\cos(-x) = \cos x \implies \text{Çift}$

Kosinüs fonksiyonu $y$ eksenine göre simetrik olan bir çift fonksiyondur.

Doğru Seçenek: D

Soru 4

Uygun koşullarda tanımlı

fonksiyonunun esas periyodu kaç radyandır?

A) $\frac{\pi}{4}$

B) $\frac{\pi}{2}$

C) $\pi$

D) $\frac{3\pi}{2}$

E) $2\pi$

Çözüm 4

Tanjant referans fonksiyonundan türetilen $h(x) = k \cdot \tan(mx + r) + s$ fonksiyonlarının esas periyodu $T = \frac{\pi}{\vert{}m\vert{}}$ formülüyle hesaplanır. Fonksiyonda bağımsız değişken $x$‘in katsayısı $m = 2$ dir. Buradan:

elde edilir.

Doğru Seçenek: B

Soru 5

$[0, 2\pi)$ yarı açık aralığında tanımlı

fonksiyonunun grafiği $x$ eksenini kaç farklı noktada keser (kaç tane sıfırı vardır)?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

Çözüm 5

1. Referans sinüs fonksiyonu olan $y = \sin x$‘in $[0, 2\pi)$ aralığındaki sıfırları $x = 0$ ve $x = \pi$ olmak üzere 2 tanedir.

2. $f(x) = \sin(4x)$ fonksiyonu yatayda 4 kat sıkıştırılmıştır ($m = 4$), dolayısıyla periyodu $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ ye düşmüştür.

3. $[0, 2\pi)$ aralığında tam 4 periyotluk dalga oluşur. Her periyotta 2 sıfır noktası yer aldığından toplam kök (sıfır) sayısı:

   $$4 \times 2 = 8 \text{ tanedir.}$$

   (Kökler: $4x = k\pi \implies x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}$)

   Doğru Seçenek: D