Düzgün çembersel hareket; sabit bir yarıçaplı dairesel yörüngede, sabit çizgisel süratle gerçekleştirilen periyodik harekettir. Bu hareketin matematiksel modellerini oluşturan temel değişkenler şunlardır:

1. Temel Skaler ve Vektörel Değişkenler

• Periyot ($T$): Cismin çembersel yörüngede tam bir tur atması için geçen süredir. Birimi saniyedir ($\text{s}$).

• Frekans ($f$): Cismin birim zamanda (1 saniyede) attığı tur sayısıdır. Birimi $\text{s}^{-1}$ veya $\text{Hertz}$ ($\text{Hz}$)’dir.

  • Periyot ile frekans ters orantılıdır:

    $$T \cdot f = 1$$

• Çizgisel Sürat ($v$): Cismin yörünge üzerinde birim zamanda katettiği yay uzunluğudur. Çemberin çevresi $2\pi r$ olduğundan çizgisel sürat matematiksel modeli:

  $$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f$$

• Çizgisel Hız ($\vec{v}$): Cismin yörünge üzerinde herhangi bir andaki hızıdır. Çembersel yörüngeye daima teğettir ve yarıçap vektörüne diktir. Büyüklüğü (sürati) sabit kalsa da yönü sürekli değişir.

• Açısal Hız ($\vec{\omega}$): Yarıçap vektörünün birim zamanda taradığı açının radyan cinsinden değeridir. Birimi $\text{rad/s}$‘dir.

  $$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

  • Yönü: Sağ el kuralı ile bulunur. Sağ elin dört parmağı dönme yönünde büküldüğünde dik açılan başparmak açısal hız vektörünün yönünü gösterir.

  • Çizgisel hız ile açısal hız ilişkisi:

    $$v = \omega \cdot r$$

2. İvme ve Kuvvet Değişkenleri

• Merkezcil İvme ($\vec{a}$): Düzgün çembersel harekette hızın büyüklüğü sabit olmasına rağmen yönü sürekli değiştiği için hareket ivmelidir. Bu ivme daima yörünge merkezine doğrudur, yarıçap vektörüne zıt yönlüdür. Birimi $\text{m/s}^2$‘dir.

  $$a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$$

• Merkezcil Kuvvet ($\vec{F}_m$): Cisme çembersel yörünge üzerinde ivme kazandıran, hız vektörüne dik ve merkeze yönelmiş net kuvvettir. Birimi $\text{Newton}$‘dır ($\text{N}$). Ayrı bir kuvvet türü değildir; ip gerilmesi, sürtünme veya kütle çekimi gibi net kuvvetlerin merkez bileşenidir. Hız vektörüne dik olduğu için fiziksel anlamda iş yapmaz ve kinetik enerjiyi değiştirmez.

  $$F_m = m \cdot a = \frac{m \cdot v^2}{r} = m \cdot \omega^2 \cdot r$$

• Açısal İvme ($\vec{\alpha}$): Birim zamandaki açısal hız değişimine denir. Birimi $\text{rad/s}^2$‘dir.

  $$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$$

  • Düzgün çembersel harekette açısal hızın büyüklüğü sabit olduğu için açısal ivme sıfırdır ($\alpha = 0$).

  • Çizgisel süratin arttığı veya azaldığı düzgün olmayan çembersel hareketlerde açısal ivme oluşur. Açısal hız büyüklüğü artıyorsa açısal ivme ile açısal hız aynı yönlü, azalıyorsa zıt yönlüdür.

3. Sınavda Çıkan Önemli Uygulama Modelleri

• Sürtünmesiz Yatay Düzlemde İp: Merkezcil kuvveti doğrudan ip gerilmesi sağlar:

  $$T = F_m = m \cdot \omega^2 \cdot r = \frac{m \cdot v^2}{r}$$

• Düşey Düzlemde İpe Bağlı Cisim:

  • En alt noktada ip gerilmesi maksimumdur: $T_{\text{alt}} = F_m + mg$

  • En üst noktada ip gerilmesi minimumdur: $T_{\text{üst}} = F_m – mg$

• Emniyetli Yatay Viraj: Merkezcil kuvvet statik sürtünme kuvveti ile sağlanır:

  $$\frac{m \cdot v^2}{r} \le k \cdot m \cdot g \implies v_{\text{maks}} = \sqrt{k \cdot g \cdot r}$$

  (Virajın güvenli hız sınırı aracın kütlesine bağlı değildir.)

• Sürtünmesiz Eğimli Viraj:

  $$\tan\theta = \frac{v^2}{g \cdot r} \implies v = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\theta}$$

5 Çözümlü Test Sorusu

Soru 1

Yarıçapı $2\text{ m}$ olan dairesel bir yörüngede düzgün çembersel hareket yapan bir cisim, $10\text{ saniye}$ içinde $5\text{ tur}$ atmaktadır.

Buna göre cismin açısal hızının ($\omega$) ve çizgisel süratinin ($v$) büyüklükleri aşağıdakilerden hangisidir? ($\pi = 3$ alınız.)

A) $\omega = 1\text{ rad/s} \ ; \ v = 2\text{ m/s}$

B) $\omega = 2\text{ rad/s} \ ; \ v = 4\text{ m/s}$

C) $\omega = 3\text{ rad/s} \ ; \ v = 6\text{ m/s}$

D) $\omega = 3\text{ rad/s} \ ; \ v = 3\text{ m/s}$

E) $\omega = 6\text{ rad/s} \ ; \ v = 12\text{ m/s}$

Çözüm:

Cismin frekansı 1 saniyedeki tur sayısıdır:

Açısal hız:

Çizgisel sürat:

Doğru Cevap: C

Soru 2

Kütlesi $2\text{ kg}$ olan bir cisim, sürtünmesiz yatay düzlemde bir ucundan sabitlenmiş $0{,}5\text{ m}$ uzunluğundaki bir ipin ucunda $4\text{ m/s}$ çizgisel süratle döndürülmektedir.

Buna göre ipte oluşan gerilme kuvveti ($T$) kaç $\text{Newton}$‘dır?

A) $16$

B) $32$

C) $48$

D) $64$

E) $80$

Çözüm:

Yatay düzlemde cisme etki eden yer çekimi kuvveti zemin tarafından dengelenir. Merkeze doğru olan tek net kuvvet ip gerilmesidir ve merkezcil kuvvete eşittir:

Doğru Cevap: D

Soru 3

Eş merkezli olarak perçinlenmiş, yarıçapları sırasıyla $r$ ve $3r$ olan iki dairesel kasnak sabit bir eksen etrafında birlikte dönmektedir. Küçük kasnağın kenarındaki bir noktanın merkezcil ivmesi $a_1$, büyük kasnağın kenarındaki bir noktanın merkezcil ivmesi $a_2$‘dir.

Buna göre $\frac{a_1}{a_2}$ oranı kaçtır?

A) $\frac{1}{9}$

B) $\frac{1}{3}$

C) $1$

D) $3$

E) $9$

Çözüm:

Eş merkezli dönen sistemlerdeki tüm noktaların birim zamanda taradıkları açılar eşit olduğundan açısal hızları aynıdır ($\omega_1 = \omega_2 = \omega$).

Merkezcil ivme formülü:

• Küçük kasnak için: $a_1 = \omega^2 \cdot r$

• Büyük kasnak için: $a_2 = \omega^2 \cdot (3r)$

  Oranlandığında:

  $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 \cdot r}{\omega^2 \cdot 3r} = \frac{1}{3}$$

Doğru Cevap: B

Soru 4

Sürtünme katsayısının $k = 0{,}6$ olduğu yatay bir virajı dönen bir kamyonun savrulmadan dönebileceği maksimum güvenli sürat $30\text{ m/s}$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre aynı viraja giren ve kamyonun kütlesinin yarısına sahip bir otomobilin savrulmadan virajı dönebileceği maksimum sürat kaç $\text{m/s}$‘dir? ($g = 10\text{ m/s}^2$)

A) $15$

B) $15\sqrt{2}$

C) $30$

D) $45$

E) $60$

Çözüm:

Yatay virajda savrulmama sınır şartı:

Eşitlikte kütle ($m$) sadeleştiği için virajı güvenle dönebilecek maksimum sürat sınır değeri aracın kütlesine bağlı değildir.

Bu nedenle kütlesi farklı olan otomobil için de emniyetli maksimum sürat yine $30\text{ m/s}$‘dir.

Doğru Cevap: C

Soru 5

Düşey düzlemde sabit $v$ süratiyle düzgün çembersel hareket yapan bir cismin bağlı olduğu ipteki gerilme kuvveti, cisim yörüngenin en alt noktasından geçerken $50\text{ N}$, en üst noktasından geçerken $10\text{ N}$ olmaktadır.

Buna göre cismin ağırlığı ($G = mg$) kaç $\text{Newton}$‘dır?

A) $10$

B) $20$

C) $25$

D) $30$

E) $40$

Çözüm:

Düzgün çembersel harekette sürat sabit kaldığı için merkezcil kuvvet büyüklüğü ($F_m$) sabittir.

Düşey düzlemde en alt ve en üst nokta denklemleri:

1. $T_{\text{alt}} = F_m + G = 50\text{ N}$

2. $T_{\text{üst}} = F_m – G = 10\text{ N}$

İki denklem taraf tarafa çıkarılırsa:

Doğru Cevap: B