🪄 Test ve Çalışma Kağıdı Hazırla

Konunu yaz; MEB uyumlu test ve özetler saniyeler içinde hazırlansın. 🖨️ Ücretsiz PDF indir!

⚡ Hemen Hazırla

1. Fonksiyonlarda Dört İşlem ve Tanım Kümesi Kuralı

Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılabilmesi için fonksiyonların tanım kümelerinin boş kümeden farklı bir kesişime sahip olması zorunludur.

$f: A \to \mathbb{R}$ ve $g: B \to \mathbb{R}$ iki fonksiyon ve $A \cap B \ne \emptyset$ olmak üzere:

• Toplama İşlemi:

  $$(f + g): A \cap B \to \mathbb{R}, \quad (f + g)(x) = f(x) + g(x)$$

• Çıkarma İşlemi:

  $$(f – g): A \cap B \to \mathbb{R}, \quad (f – g)(x) = f(x) – g(x)$$

• Çarpma İşlemi:

  $$(f \cdot g): A \cap B \to \mathbb{R}, \quad (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$

• Sabit ile Çarpma:

  $$(c \cdot f): A \to \mathbb{R}, \quad (c \cdot f)(x) = c \cdot f(x) \quad (c \in \mathbb{R})$$

• Bölme İşlemi:

  $$\left(\frac{f}{g}\right): (A \cap B) – \{x \mid g(x) = 0\} \to \mathbb{R}, \quad \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \ne 0)$$

2. Kritik Kurallar

• Kesişim Kümesi Zorunluluğu: $(f + g)(x)$, $(f – g)(x)$ veya $(f \cdot g)(x)$ ifadeleri yalnızca her iki fonksiyonun da tanımlı olduğu ortak $x$ değerleri ($x \in A \cap B$) için hesaplanabilir.

• Bölmede Payda Sıfır Olamaz: Bölüm fonksiyonunda kesişim kümesinden paydayı sıfır yapan ($g(x) = 0$) kökler mutlaka çıkarılmalıdır.

• Bileşke ile Karıştırmama: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ iken, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ tir. İki işlem birbirinden tamamen farklıdır.

II. BİLGİ VE KAVRAMA ODAKLI ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

Soru 1

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, $(f + g)(2)$ işleminin sonucu kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Çözüm 1

İşlem kuralı uygulanır: $(f + g)(2) = f(2) + g(2)$.

$f(2)$ hesaplanır:

$g(2)$ hesaplanır:

Değerler toplanır:

Doğru Seçenek: C

Soru 2

fonksiyonları liste biçiminde veriliyor.

Buna göre, $(f \cdot g)$ fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır?

A) 7

B) 14

C) 21

D) 24

E) 27

Çözüm 2

Fonksiyonların tanım kümeleri belirlenir:

$(f \cdot g)$ fonksiyonunun tanım kümesi kesişim kümesidir:

Kesişim kümesindeki her eleman için çarpım hesaplanır:

• $x = 2 \implies (f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 3 = 15$

• $x = 3 \implies (f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 6 \cdot 1 = 6$

• $x = 4 \implies (f \cdot g)(4) = f(4) \cdot g(4) = 7 \cdot (-2) = -14$

Görüntü kümesi $\{15, 6, -14\}$ olur. Elemanların toplamı:

Doğru Seçenek: A

Soru 3

Gerçek sayılarda tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $(f \cdot g)(1)$ işleminin sonucu kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 15

Çözüm 3

$x = 1$ için verilen eşitlikler yazılır:

Bu iki denklem taraf tarafa toplanır:

Birinci denklemde yerine yazılarak $g(1)$ bulunur:

Çarpım değeri hesaplanır:

Doğru Seçenek: D

Soru 4

Tanım kümeleri sırasıyla $A = [-2, 5)$ ve $B = (1, 8]$ olan $f: A \to \mathbb{R}$ ve $g: B \to \mathbb{R}$ fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, $(f – g)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-2, 8]$

B) $(-2, 8)$

C) $(1, 5)$

D) $[1, 5)$

E) $(1, 5]$

Çözüm 4

Fonksiyonlarda çıkarma işleminin tanım kümesi, iki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimidir:

Verilen aralıkların kesişimi alınır:

Doğru Seçenek: C

Soru 5

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\mathbb{R}$

B) $\mathbb{R} – \{3\}$

C) $\mathbb{R} – \{-3, 3\}$

D) $(3, \infty)$

E) $\mathbb{R} – \{-3\}$

Çözüm 5

$f$ ve $g$ gerçek sayılarda tanımlı olduğundan tanım kümeleri kesişimi $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$ dir.

Bölme işleminde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık oluşturduğundan kesişimden çıkarılmalıdır:

Dolayısıyla en geniş tanım kümesi $\mathbb{R} – \{3\}$ olarak bulunur.

(Not: Cebirsel sadeleştirme $\frac{x^2 – 9}{x – 3} = x + 3$ yapılsa dahi başlangıçtaki paydayı sıfır yapan $x = 3$ noktası tanım kümesine dahil edilemez.)

Doğru Seçenek: B